Предмет вычислительной математики. Погрешности вычислений. Численное дифференцирование

Июль 21, 2022

Главная
Математика
Предмет вычислительной математики. Погрешности вычислений. Численное дифференцирование

Содержание

2. На данный момент все научно-технические задачи решаются с использованием средств вычислительной математики. Ни один реальный объект
3. Расчеты аэродинамики Проблема: формирование вихря на крыле ведет к нестабильности полета и дополнительным потерям топлива.
4. Расчеты аэродинамики 2% в контексте общемировых перелетов приводит к гигантскому экономическому эффекту.
5. Месторождение высоковязких нефтей Проблема: На месторождении высоковязких нефтей добыча нефти вообще не соответствовала предварительным оценкам без
6. Создание новых электронных систем Разработка новых электронных систем включает: Моделирование электрической схемы Моделирование нагрева Расчет электромагнитной
7. Организация проекта по моделированию Погрешности вычислений Численное дифференцирование, интегрирование, интерполяция Решение нелинейных уравнений Решение обыкновенных дифференциальных
8. Погрешности вычислений
9. Типы погрешностей Маятник Движение в поле силы тяжести Растяжимая нить с весом Сопротивление воздуха Отклонение на
10. Типы погрешностей Модель: математический маятник Определение производной в непрерывном пространстве Бесконечно малая величина
11. Типы погрешностей Численная модель
12. Суммирование ряда Тейлора Рассмотрим способ вычисления экспоненты, через разложение в ряд Тейлора n – параметр метода
13. Выбор корректного алгоритма Вычисление sinx двумя способами в окрестности точки Разложение в ряд Маклорена Разложение в
14. Алгоритм вычисления решения системы уравнений Метод Гаусса = = = Прямой ход Обратный ход
15. Алгоритм вычисления решения системы уравнений Для теста использовалась матрица 100 x 100 заполненная рандомно значениями из
16. Определения и свойства Свойство 1: Абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме абсолютных погрешностей Свойство 2:
17. Численное дифференцирование
18. Вычисление первой производной Пространство непрерывных функций Пространство дискретных функций - непрерывная область определения функции - набор
19. Погрешность приближенного дифференцирования Считается, что функция f(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы Для оценки погрешности воспользуемся
20. Полная погрешность при дифференцировании
21. Другие формулы численного дифференцирования
22. Метод неопределенных коэффициентов u(k)(xj) ≈ ?
23. Метод неопределенных коэффициентов Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях производных
24. Разрешимость полученной системы уравнений Решаем систему
25. Замечания На шаблоне из N точек с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить единственную формулу
26. Использование метода неопределенных коэффициентов Построить на 3-х точках расчетной сетки формулы вычисления первой и второй производной
27. Первая производная
28. Вторая производная
29. Заключение Выводы из Лекции № 1 Рассмотрены основные особенности предмета вычислительной математики. Классифицированы погрешности и проанализированы
31. Скачать презентацию

Слайд 2

На данный момент все научно-технические задачи решаются с использованием средств вычислительной

математики.
Ни один реальный объект не может быть внедрен в жизнь без соответствующей системы тестов, основанных на математическом моделировании.
Современные компьютеры и кластерные системы являются самым мощным инструментом исследователя.
Для эффективного и правильного использования методов математического моделирования необходимо понимать сущность этого инструмента.

Цели и задачи курса

Познакомить с методами вычислительной математики
Создать необходимый задел для дальнейшего использования средств моделирования

Слайд 3

Расчеты аэродинамики
Проблема: формирование вихря на крыле ведет к нестабильности полета и

дополнительным потерям топлива.

Слайд 4

Расчеты аэродинамики
2% в контексте общемировых перелетов приводит к гигантскому экономическому эффекту.

Слайд 5

Месторождение высоковязких нефтей
Проблема: На месторождении высоковязких нефтей добыча нефти вообще не

соответствовала предварительным оценкам без видимой причины.

Решение: Было обнаружено, что нефть обладает не Ньютоновской реологией. Эти свойства были заложены в модель, что позволило оценить рентабельность разработки месторождения.

Слайд 6

Создание новых электронных систем
Разработка новых электронных систем включает:
Моделирование электрической схемы
Моделирование нагрева
Расчет

электромагнитной совместимости
Расчеты прочности

Слайд 7

Организация проекта по моделированию
Погрешности вычислений
Численное дифференцирование, интегрирование, интерполяция
Решение нелинейных уравнений
Решение обыкновенных

дифференциальных уравнений
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Методы для задач в частных производных

Слайд 8

Погрешности вычислений

Слайд 9

Типы погрешностей
Маятник
Движение в поле силы тяжести
Растяжимая нить с весом
Сопротивление воздуха
Отклонение на

любой угол

Слайд 10

Типы погрешностей
Модель: математический маятник

Определение производной в непрерывном пространстве
Бесконечно малая величина

Слайд 11

Типы погрешностей
Численная модель

Слайд 12

Суммирование ряда Тейлора
Рассмотрим способ вычисления экспоненты, через разложение в ряд Тейлора

n

– параметр метода

Оценим ошибку через формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

При n →∞ ошибка метода стремится к нулю.

При вычислении e-30≈9.35⋅10-14 в худшем случае накапливается ошибка

Ошибка превосходит результат на 10 порядков.

Слайд 13

Выбор корректного алгоритма
Вычисление sinx двумя способами в окрестности точки

Разложение в

ряд Маклорена

Разложение в ряд Маклорена с предварительным преобразованием

Слайд 14

Алгоритм вычисления решения системы уравнений
Метод Гаусса
=
=
=
Прямой ход
Обратный ход

Слайд 15

Алгоритм вычисления решения системы уравнений
Для теста использовалась матрица 100 x 100

заполненная рандомно значениями из отрезка [-1, 1].

Метод Гаусса

Метод Гаусса-Жордана с выбором главного элемента

Для такого теста точность вычислений, обусловленная погрешностями округления, отличия на 4 порядка

Слайд 16

Определения и свойства

Свойство 1: Абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме

абсолютных погрешностей

Свойство 2: Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей

Слайд 17

Численное дифференцирование

Слайд 18

Вычисление первой производной

Пространство непрерывных
функций
Пространство дискретных
функций

- непрерывная область
определения функции

- набор точек- расчетная сетка

- непрерывная область
определения функции

- сеточная функция

- шаг сетки

- равномерная
сетка

Слайд 19

Погрешность приближенного дифференцирования
Считается, что функция f(x) нужное число раз непрерывно

дифференцируемы

Для оценки погрешности воспользуемся разложением в ряд Тейлора

Слайд 20

Полная погрешность при дифференцировании

Слайд 21

Другие формулы численного дифференцирования

Слайд 22

Метод неопределенных коэффициентов
u(k)(xj) ≈ ?

Слайд 23

Метод неопределенных коэффициентов

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях производных

Слайд 24

Разрешимость полученной системы уравнений

Решаем систему

Слайд 25

Замечания
На шаблоне из N точек с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда

можно построить единственную формулу для вычисления производной k-го порядка (k от 1 до N – 1) с точностью по крайней мере O(hN–k).

Слайд 26

Использование метода неопределенных коэффициентов
Построить на 3-х точках расчетной сетки формулы вычисления

первой и второй производной с максимально возможным порядком точности

Слайд 27

Первая производная

Слайд 28

Вторая производная

Слайд 29

Заключение
Выводы из Лекции № 1
Рассмотрены основные особенности предмета вычислительной математики.
Классифицированы погрешности

и проанализированы основные причины их возникновения в расчетах.
Сформулирована задача численного дифференцирования и продемонстрирован способ построения формул численного дифференцирования методом неопределенных коэффициентов. Построены формулы для аппроксимации 1-ой и 2-ой производных на симметричном 3-х точечном шаблоне с максимальным порядком.

Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособие. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий. Бином. Лаборатория знаний, 2006. – С. 16 – 28.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – С. 8 – 20.
Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: учеб. пособие. – М.: Изд-во МФТИ, 1994. – С. 24 – 25.

При подготовке лекции использовались

Предмет вычислительной математики. Погрешности вычислений. Численное дифференцирование

Содержание

На данный момент все научно-технические задачи решаются с использованием средств вычислительной

Расчеты аэродинамикиПроблема: формирование вихря на крыле ведет к нестабильности полета и

Расчеты аэродинамики2% в контексте общемировых перелетов приводит к гигантскому экономическому эффекту.

Месторождение высоковязких нефтейПроблема: На месторождении высоковязких нефтей добыча нефти вообще не

Создание новых электронных системРазработка новых электронных систем включает:Моделирование электрической схемыМоделирование нагреваРасчет

Погрешности вычислений

Типы погрешностейМаятникДвижение в поле силы тяжестиРастяжимая нить с весомСопротивление воздухаОтклонение на

Типы погрешностейМодель: математический маятник Определение производной в непрерывном пространствеБесконечно малая величина

Типы погрешностейЧисленная модель

Суммирование ряда ТейлораРассмотрим способ вычисления экспоненты, через разложение в ряд Тейлора n

Выбор корректного алгоритмаВычисление sinx двумя способами в окрестности точки Разложение в

Алгоритм вычисления решения системы уравненийМетод Гаусса===Прямой ходОбратный ход

Алгоритм вычисления решения системы уравненийДля теста использовалась матрица 100 x 100

Определения и свойства Свойство 1: Абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме