Презентация по математике "Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1" - скачать бесплатно

1. Алгебраические методы решения

Если исходить из определения неравенства, в котором в

1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем

Как правило, преобразования

В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему,

Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Так как x2 - 6x

при x = 2 или x = 4 . Значит, с

На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.

Замечание. При

Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства,

Неравенства, содержащие иррациональные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств,

Пример 3. Решите неравенство

Решение. Если 2 - x > 0 или

На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств.

Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство

Решение. Используя схему (6), получим, что

Первое неравенство системы (I) приводим к виду:

На числовой прямой Ox дано

Тогда решением системы (I) все значения
Для системы (II) имеем:

Следовательно, решением

При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к

Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное неравенство

Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Обозначим . Тогда выразим x = t 2

Возвращаемся к переменной x :

Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство

Решение. Область определения данного неравенства определяется

Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе части

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

С учетом

Неравенства, содержащие показательные выражения

Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в

В частности:

Пример 8. Решите неравенство

Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x

Получаем неравенство

2-й способ. Так как

то, используя схему (12), получаем:

Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)<0
использована стандартная схема решения логарифмических неравенств (см.

Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x <1.
Решение. Приведем неравенство

При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по

Неравенства, содержащие логарифмические выражения

Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в

● Если число 0 < a < 1, то

В частности:
● Если

Пример 10. Решите неравенство
log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)
Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в

Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство

Решение. В соответствии с определением логарифма,

Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы

С учетом области определения данного неравенства

получаем ответ.

Неравенства, содержащие выражения с модулями

Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство

Решение. Данное

Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются

Пример 14. Решите неравенство

Решение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство

Пример 15. Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно следующему

Используя схему (23), получаем,

Пример 16. Решите неравенство

Решение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство

Для решения неравенств вида:

где символ \/ заменяет один из знаков неравенств:

На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции,

Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля

Если , то исходное неравенство равносильно неравенству
x -1+ x - 2 >

Расщепление неравенств

Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а

Пример 18. Решите неравенство

Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду:

В соответствии

Решим каждое неравенство системы (I).
Для неравенства (1) имеем:

Для неравенства (2) имеем:

Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).
Найдем

Значит все значения – решения системы (II).
Объединяя решения систем (I) и (II),