Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Элементарные преобразования матриц

Вычеркивание нулевой строки

Элементарные преобразования матриц

Перестановка двух строк

Прибавление к одной из строк другой строки,

СЛЕДСТВИЕ:
Ранг ступенчатой матрицы равен числу (ненулевых) строк.

Пример

Найти ранг матрицы:

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

·(-2)
↓
←⊕

Решение.

·(-2)
↓
←⊕

Решение.

·(-2)
↓
←⊕

·(-3)
↓
←⊕

Решение.

·(-2)
↓
←⊕

·(-3)
↓
←⊕

Решение.

Решение.

ОТВЕТ:r(A)=2

Метод Гаусса

Рассмотрим систему

С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:

Возможен один из следующих случаев:

1) система не имеет решений (система несовместна);

2) система

Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему уравнений

Обозначим

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу:

r(A)=r(Ã)=3

Решение.

Решение.

Решение. Найдем x1:

Решение.

x1=1, x2=1, x3=0 – единственное решение.