Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB

Ранее

Возможности MATLAB
левостороннее деление
x = A\b
обратная матрица
x = inv(A)*b

*

Небольшие системы уравнений

Небольшая система содержит, как привило, не более трех уравнений
Решение,

Графический метод

*

Сложные случаи решений

Три случая
Параллельные линии
нет решения
Совпадающие линии
множество решений
Близкие линии
трудно определить точку

Метод Крамера

*

Метод Крамера

*

Исключение неизвестных

*

Исключение неизвестных

*

Метод Гаусса

*

Метод Гаусса – Прямой ход

*

Метод Гаусса – Прямой ход

*

Метод Гаусса – Прямой ход

*

Метод Гаусса – Прямой ход

*

Метод Гаусса – Обратный ход

*

Пример

*

Метод Гаусса с обратной подстановкой

В рассмотренном варианте метода Гаусса могут возникнуть

Пример – Частный выбор главного элемента

*

Пример – Частный выбор главного элемента

*

Пример – MATLAB

*

Расчет определителя матрицы

*

Факторизация матриц

В математике факторизация или факторинг - это декомпозиция объекта (например, числа,

LU факторизация

*

LU факторизация

*

LU факторизация

*

Два основных шага решения системы
факторизация
выполняется декомпозиция матрицы А на верхнюю

Метод Гаусса как LU факторизация

*

Метод Гаусса как LU факторизация

*

Метод Гаусса как LU факторизация

*

Метод Гаусса как LU факторизация

*

Пример - Проверка

*

Пример - Проверка

*

Метод Гаусса как LU факторизация

*

Пример

*

Пример

*

LU факторизация с выбором главного элемента

Аналогично методу Гаусса для обеспечения надежности

LU факторизация с выбором главного элемента

*

Пример

*

Пример

*

LU факторизация – MATLAB функции

lu
[L,U] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную

Пример

*

Факторизация Холецкого

*

Пример

*

Пример

*

Факторизация Холецкого

*

Факторизация Холецкого – MATLAB функции

chol
U = chol(A) – для квадратной матрицы

Пример

*

Левостороннее деление MATLAB

При использовании левостороннего деления «\» MATLAB выполняет оценку матрицы

QR факторизация

*

QR факторизация – MATLAB функции

qr
[Q,R] = qr(A) – вычисляет верхнюю треугольную

Пример

*

Итерационные методы

Итерационные или аппроксимационные методы являются альтернативой ранее рассмотренным методам решения

Метод Гаусса-Зейделя

*

Метод Гаусса-Зейделя

*

Пример

*

Пример

*

Пример

*

Метод Якоби

Метод Гаусса-Зейделя использует найденное значение х сразу же для нахождения

Сходимость и диагональное преобладание

*

Пример

*

Метод релаксации

*

Метод релаксации

*

Пример

*

Пример

*