Симплекс-метод

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Симплекс-метод

Содержание

2. Из линейной алгебры известно: Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них нельзя получить из других
3. Для реализации СМ необходимо 3 основных момента: Необходимо отыскать способ отыскания исходного допустимого решения. Должен быть
4. Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме при выполнении условий: max
5. Алгоритм решения задачи : Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче. F= c1x1+…+cnxn→max a11x1+…+a1nxn+xn+1=b1 a11x1+…+a1nxn +xn+2=b2
6. Определяется начальное допустимое решение Для этого запишем систему ограничений в векторной форме x1A1+x2A2+…+ xnAn+xn+1An+1+…+ xn+mAn+m =A0
7. По данным задачи составляется симплекс-таблица:
8. В (m+1) –й строке в столбцах векторов Aj записываются значения ∆j = сiaij- значение целевой функции,
9. Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность (в случае максимизации). Используются теоремы: Теорема2 Если для некоторого опорного
10. Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку: Согласно теорем выясняется, имеется ли хотя бы одно отрицательное ∆j
11. В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным, если все разности ∆j ≤
12. Находится направляющий столбец и направляющая строка. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом ∆j
13. Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов Aj по векторам нового базиса и
14. Полученные данные записываются в новую симплекс–таблицу:
15. Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность Если решение не является оптимальным то возвращаются к п.5 ,
16. Пример Для изготовления изделий A, B и C предприятие использует три вида сырья. Составить план производства
17. Составим математическую модель задачи. max
18. Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.
19. Полученную систему уравнений запишем в векторной форме:
20. Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного векторного пространства. Исходное решение задачи
21. Составим первую симплексную таблицу и проверим исходное решение на оптимальность.
22. Значения, стоящие в четвертой строке симплексной таблицы вычисляются следующим образом:
23. Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются три отрицательных числа: -9, -10,
25. Составим новую симплексную таблицу:
26. Заполняем строку A3, разделив все элементы на разрешающий а22 =8
27. Вычисление остальных элементов таблицы производим по рекуррентным формулам: В нашем случае k=3 r=2
28. Тогда компоненты вектора A0 находятся
30. Вычислим компоненты вектора A1:
32. Аналогично находятся элементы столбцов векторов A2, A5.
33. Теперь заполним четвертую строку симплексной таблицы.
34. В результате мы получим новое допустимое решение: изготовление 24 изделий C, остаются неиспользованными 72 кг сырья
35. Решение X2 не является оптимальным, т.к. в 4-ой строке последней симплекс–таблице в столбце вектора A2 стоит
36. Проводим аналогичные преобразования с таблицей.
37. В результате получаем новое оптимальное решение
38. Ответ Это решение соответствует плану выпуска продукции, включающего изготовление 8 изделий B и 20 изделий C.
39. Вопросы В чем смысл симплекс-метода? Что необходимо для реализации СМ? Теорема о соответствии допустимых решений задачи
41. Скачать презентацию

Слайд 2

Из линейной алгебры известно:
Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них

нельзя получить из других путем умножения на какие-то коэффициенты и суммирования, т.е. никакое из них не является следствием остальных.
В линейной алгебре доказывается, что максимальное число линейно независимых равенств, связывающих n переменных x1 …xn, равно n .
В линейной алгебре доказывается, что систему из r независимых равенств с n переменными всегда можно разрешить относительно каких-то r переменных (называемых базовыми) и выразить через них остальные n-r переменных (называемых свободными). Свободным переменным можно придавать какие угодно значения.
Теорема1 Любому допустимому решению задачи ЛП соответствует по крайней мере хотя бы одна угловая точка многоугольника решений, и наоборот, любой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Слайд 3

Для реализации СМ необходимо 3 основных момента:
Необходимо отыскать способ отыскания исходного

допустимого решения.
Должен быть описан механизм перехода от одного допустимого решения к другому (к другой вершине многоугольника).
Должен быть сформулирован критерий, с помощью которого можно проверить на оптимальность: остановить процесс поиска или идти дальше.

Слайд 4

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме

при выполнении условий:
max

Слайд 5

Алгоритм решения задачи :
Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче.
F=

c1x1+…+cnxn→max
a11x1+…+a1nxn+xn+1=b1
a11x1+…+a1nxn +xn+2=b2
….
am1x1+…+amnxn+ xn+m=bm
xj ≥ 0 j=1,n

Слайд 6

Определяется начальное допустимое решение
Для этого запишем систему ограничений в векторной

форме
x1A1+x2A2+…+ xnAn+xn+1An+1+…+ xn+mAn+m =A0 , где

An+1…An+m – линейно-независимые векторы m – мерного пространства
первоначальное допустимое решение: x0=(0,…0,b1…bm).

Слайд 7

По данным задачи составляется симплекс-таблица:

Слайд 8

В (m+1) –й строке в столбцах векторов Aj записываются значения
∆j

сiaij- значение целевой функции, если вместо неизвестных подставить коэффициенты разложения j – го вектора по векторам базиса. Δ- называют оценками плана.
Значение F0 равно скалярному произведению вектора А0 на вектор C∆

F0=

Слайд 9

Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность (в случае максимизации).
Используются теоремы:
Теорема2 Если

для некоторого опорного плана x* выполняются неравенства Δj ≥0, то этот план оптимальный .
Теорема3 Если для опорного плана Х задачи ЛП существует хотя бы один элемент j , для которого Δj < 0 и среди коэффициентов разложения j-го вектора есть хотя бы один аij >0, то существует такой опорный план Х’, для которого F(x’)>F(x).
Если хотя бы для одной отрицательной оценки ∆j < 0. коэффициенты разложения aij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.

Слайд 10

Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку:
Согласно теорем выясняется, имеется ли хотя

бы одно отрицательное ∆j (ЦФ исследуется на максимум). Если нет, то найденное решение является оптимальным.
Если же среди чисел ∆j имеются отрицательные, то либо устанавливается неразрешимость задачи, либо переходят к новому допустимому решению.

Слайд 11

В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным,

если все разности ∆j ≤ 0 . Если хотя бы одно ∆j>0 , тогда в базис включается вектор, соответствующий этой оценке, и вычисляется новое допустимое решение, при котором линейная целевая функция будет принимать меньшее значение.
Если положительных элементов в последней строке симплекс-таблицы, несколько, то в базис должен быть включен вектор, которому соответствует максимальный положительный ∆j .> 0.
Если имеется несколько одинаковых максимальных значений ∆j , то из соответствующих им векторов включается в базис вектор, которому соответствует минимальное Сj .
Если хотя бы для одной положительной оценки ∆j> 0. коэффициенты разложения aij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.

Слайд 12

Находится направляющий столбец и направляющая строка.
Направляющий столбец определяется наибольшим по

абсолютной величине отрицательным числом ∆j , а направляющая строка – минимальным отношением компонент столбца вектора А0 к положительным компонентам направляющего столбца
Выбор максимального по модулю отрицательного элемента ∆j означает включение в базис переменной, увеличение которой приводит к максимальному росту ЦФ

Слайд 13

Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов Aj

по векторам нового базиса и числа F0 ∆j по следующим формулам:

где k – номер направляющего столбца (вектор Ak вводится в базис), r – номер направляющей строки (Ar исключается из базиса).

Слайд 14

Полученные данные записываются в новую симплекс–таблицу:

Слайд 15

Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность
Если решение не является оптимальным

то возвращаются к п.5 ,
если оптимальное или установлена неразрешимость задачи процесс решения заканчивается.

Слайд 16

Пример
Для изготовления изделий A, B и C предприятие использует три вида

сырья.
Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной

Слайд 17

Составим математическую модель задачи.
max

Слайд 18

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.

Слайд 19

Полученную систему уравнений запишем в векторной форме:

Слайд 20

Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного

векторного пространства.

Исходное решение задачи

Слайд 21

Составим первую симплексную таблицу и проверим исходное решение на оптимальность.

Слайд 22

Значения, стоящие в четвертой строке симплексной таблицы вычисляются следующим образом:

Слайд 23

Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются

три отрицательных числа:
-9, -10, -16.

В базис будем вводить вектор A3, т.к. максимальное по абсолютной величине отрицательное число (-16) стоит в 4-й строке этого вектора .

Определим вектор, исключаемый из базиса.

Следовательно, вектор A5 исключается из базиса.

Слайд 24

Слайд 25

Составим новую симплексную таблицу:

Слайд 26

Заполняем строку A3, разделив все элементы на разрешающий а22 =8

Слайд 27

Вычисление остальных элементов таблицы производим по рекуррентным формулам:
В нашем случае k=3

r=2

Слайд 28

Тогда компоненты вектора A0 находятся

Слайд 29

Слайд 30

Вычислим компоненты вектора A1:

Слайд 31

Слайд 32

Аналогично находятся элементы столбцов векторов A2, A5.

Слайд 33

Теперь заполним четвертую строку симплексной таблицы.

Слайд 34

В результате мы получим новое допустимое решение:
изготовление 24 изделий C, остаются

неиспользованными 72 кг сырья I вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость производимой продукции равна 384 рубля.

Слайд 35

Решение X2 не является оптимальным, т.к. в 4-ой строке последней симплекс–таблице

в столбце вектора A2 стоит отрицательное число –2.

В базис вводится вектор A2,

Для определения направляющей строки найдем

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор A4,

Слайд 36

Проводим аналогичные преобразования с таблицей.

Слайд 37

В результате получаем новое оптимальное решение

Слайд 38

Ответ
Это решение соответствует плану выпуска продукции, включающего изготовление 8 изделий B

и 20 изделий C.
При этом сырье I и II видов используется полностью и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида.
Стоимость производимой продукции равна 400 рублей.

Слайд 39

Вопросы
В чем смысл симплекс-метода?
Что необходимо для реализации СМ?
Теорема о соответствии допустимых

решений задачи и многоугольника решений.
С чего начинается решение задачи СМ?
Как определяется начальное допустимое решение (опорный план)?
Что такое оценка плана?
Теоремы, позволяющие проверить решение на оптимальность (при максимизации).

Симплекс-метод

Содержание

Из линейной алгебры известно:Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них

Для реализации СМ необходимо 3 основных момента:Необходимо отыскать способ отыскания исходного

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме при выполнении условий: max

Алгоритм решения задачи :Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче. F=

Определяется начальное допустимое решение Для этого запишем систему ограничений в векторной