Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

Содержание

2. План изложения темы 1. Основные сведения о СЛУ: Определение Виды Разрешимость 2. Методы решения СЛУ: Метод
3. Литература Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. Высшая математика
4. Система линейных уравнений (СЛУ) из m уравнений с n неизвестными имеет вид: где -коэффициенты при переменных;
5. Краткая форма записи СЛУ С помощью знаков суммирования систему записывают в виде:
6. Матричная форма СЛУ Обозначения: основная матрица вектор вектор системы неизвестных свободных членов СЛУ принимает вид матричного
7. Решение СЛУ Решением СЛУ называется упорядоченный набор (вектор) значений , при подстановке которого в СЛУ, каждое
8. Равносильные СЛУ Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же
9. Виды СЛУ по числу решений
10. Разрешимость СЛУ Расширенной матрицей системы называется матрица (А|В). Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда,
11. Система n уравнений с n неизвестными (СЛУ n×n) Число уравнений равно числу неизвестных (m=n). Основная матрица
12. Методы решения СЛУ Метод обратной матрицы – для СЛУ n×n; Метод Крамера - для СЛУ n×n;
13. Метод обратной матрицы Для СЛУ n×n, записанной в матричном виде имеющей невырожденную матрицу А (∆А ≠
14. Метод Крамера Обозначим ∆ - определитель системы, ∆i – определитель, получаемый заменой в матрице А j-го
15. Метод Гаусса является универсальным, т.е. применим для решения любой СЛУ. Др. название – метод последовательного исключения
17. Скачать презентацию

Слайд 2

План изложения темы
1. Основные сведения о СЛУ:
Определение
Виды
Разрешимость
2. Методы решения СЛУ:
Метод обратной

матрицы
Метод Крамера
Метод Гаусса
Метод Жордана-Гаусса
3. Понятие СЛОУ

Слайд 3

Литература
Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов. Под ред. проф.

Н.Ш. Кремера.
Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.

Слайд 4

Система линейных уравнений (СЛУ)
из m уравнений с n неизвестными
имеет вид:
где

-коэффициенты при переменных;
- свободные члены уравнений

Слайд 5

Краткая форма записи СЛУ
С помощью знаков суммирования систему записывают в виде:

Слайд 6

Матричная форма СЛУ
Обозначения:
основная матрица вектор вектор
системы неизвестных свободных
членов
СЛУ принимает вид матричного уравнения:

Слайд 7

Решение СЛУ
Решением СЛУ называется упорядоченный набор (вектор) значений , при подстановке

которого в СЛУ, каждое уравнение обращается в верное равенство.
Решить СЛУ – найти множество всех его решений.

Слайд 8

Равносильные СЛУ
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют

одно и то же множество решений.
Элементарные преобразования над матрицей приводят к получению систем, равносильных данной.

Слайд 9

Виды СЛУ по числу решений

Слайд 10

Разрешимость СЛУ
Расширенной матрицей системы называется матрица (А|В).
Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда

и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. СЛУ совместна ↔ r(A) = r(A|B).
Совместная система имеет
единственное решение (определённа), если ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных;
бесконечное число решений (неопределённа), если ранг меньше числа неизвестных.

Слайд 11

Система n уравнений с n неизвестными (СЛУ n×n)
Число уравнений равно числу

неизвестных (m=n).
Основная матрица системы А является квадратной.
Определитель det А = ∆А называется определителем системы.

Слайд 12

Методы решения СЛУ
Метод обратной матрицы – для СЛУ n×n;
Метод Крамера -

для СЛУ n×n;
Метод Гаусса – для всех СЛУ;
Метод Жордана-Гаусса – для всех СЛУ.

Слайд 13

Метод обратной матрицы
Для СЛУ n×n,
записанной в матричном виде
имеющей невырожденную матрицу

А (∆А ≠ 0)
имеется единственное решение Х, определяемое формулой:
Если ∆А =0, то метод обратной матрицы неприменим для решения СЛУ.
Применяется не только в решении СЛУ, но и других матричных уравнений.

Слайд 14

Метод Крамера
Обозначим ∆ - определитель системы,
∆i – определитель, получаемый заменой

в матрице А j-го столбца на столбец свободных членов В.
При ∆≠0 СЛУ совместна определённа, её единственное решение находят по формулам
Если ∆=0 и хотя бы один ∆i ≠0, то система несовместна (не имеет решений).
Если ∆=0 и все ∆i =0, то система совместна неопределённа, её решения находят другими методами.

Слайд 15

Метод Гаусса
является универсальным, т.е. применим для решения любой СЛУ.
Др. название –

метод последовательного исключения неизвестных.
Идея метода – заменить СЛУ более простой равносильной системой.
Осуществляется в 2 этапа:
«Прямой ход» - преобразование расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований;
«Обратный ход» - решение равносильной системы, начиная с последнего уравнения.

Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

Содержание

План изложения темы 1. Основные сведения о СЛУ:ОпределениеВидыРазрешимость 2. Методы решения СЛУ:Метод обратной

ЛитератураВысшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов. Под ред. проф.

Система линейных уравнений (СЛУ)из m уравнений с n неизвестными имеет вид:где

Краткая форма записи СЛУС помощью знаков суммирования систему записывают в виде:

Матричная форма СЛУОбозначения:основная матрица вектор вектор системы неизвестных свободных членовСЛУ принимает вид матричного уравнения:

Решение СЛУРешением СЛУ называется упорядоченный набор (вектор) значений , при подстановке

Равносильные СЛУДве системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют

Виды СЛУ по числу решений

Разрешимость СЛУРасширенной матрицей системы называется матрица (А|В).Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда

Система n уравнений с n неизвестными (СЛУ n×n)Число уравнений равно числу

Методы решения СЛУМетод обратной матрицы – для СЛУ n×n;Метод Крамера -

Метод обратной матрицыДля СЛУ n×n, записанной в матричном видеимеющей невырожденную матрицу

Метод КрамераОбозначим ∆ - определитель системы, ∆i – определитель, получаемый заменой

Метод Гаусса является универсальным, т.е. применим для решения любой СЛУ.Др. название –

Похожие презентации