Содержание
- 2. Собственные значения матрицы Рассмотрим квадратную матрицу порядка с постоянными действительными элементами Определение. Число называется собственным значением,
- 3. Определение. Множество всех собственных значений матрицы называется спектром матрицы. Замечание. Представим равенство (1) в сл. виде:
- 4. Система вида (2) всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение. Система (2) имеет тривиальное (нулевое
- 5. Собственные значения матрицы Уравнение (3) называется характеристическим уравнением матрицы . Решения уравнения (3) называются собственными значениями
- 6. Вычислив определитель, разложив его по элементам первой строки, и сгруппировав подобные члены, получим алгебраическое уравнение степени
- 7. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ Согласно основной теореме алгебры характеристическое уравнение всегда имеет ровно корней (с учетом их
- 8. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ Замечание. Задача нахождения собственных значений матрицы сводится к решению характеристического уравнения . Пример.
- 9. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ Найдем собственный вектор соответствующий собственному значению
- 10. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ Положив получим
- 11. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ является собственным вектором матрицы с собственным значением Аналогично для собственного значения получим следующее
- 12. Свойства собственных значений матрицы Произведение собственных значений матрицы равно ее определителю Число отличных от нуля собственных
- 13. Свойства собственных значений матрицы Если собственное значение невырожденной матрицы , то собственное значение матрицы . Если
- 14. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ , 1. Если из характеристического уравнения найдено собственное значение кратности , то поиск
- 15. Линейная зависимость векторов Определение . Векторы линейного векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа ,
- 16. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Система всегда имеет бесконечное множество решений, в котором число базисных (то есть максимальное
- 17. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Поэтому любому собственному значению квадратной матрицы А соответствует хотя бы один линейно независимый
- 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Если простое собственное значение матрицы A, тогда этому числу отвечает ровно один линейно
- 19. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Случай, когда характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности Так как данное алгебраическое уравнение
- 20. Кратность корня равна числу Поэтому следует найти собственные векторы , соответствующие собственному значению . Далее нужно
- 21. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ 4. Пусть у матрицы А есть кратное собственное значение кратности Тогда, решая систему
- 22. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Замечание. Если оказывается, что то для собственного значения будет найдено столько линейно независимых
- 23. Примеры 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение. Найдем собственные значения матрицы
- 24. Примеры собственное значение кратности , . Ответ:
- 27. Скачать презентацию