Статистическое моделирование. (Лекция 6)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Статистическое моделирование. (Лекция 6)

Содержание

2. 1 Общие сведения о статистическом моделировании Основным отличием статистических методов является построение генеральной совокупности: последовательность вариантов
3. В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются: - вероятностные аналитические модели (влияние случайных
4. Статистическая модель случайного процесса ‑ это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным
5. Обобщенный алгоритм метода статистических испытаний Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6
6. Две области применения метода статистического моделирования: ‑ для изучения стохастических систем; ‑ для решения детерминированных задач.
7. Основная сложность - учет стохастических воздействий: ‑ точность получаемых оценок зависит от размера совокупности случайных чисел,
8. 2 Методы генерирования случайной величины Методы, используемые для получения случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками,
9. Численный метод, моделирующий случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1), получил название "метод статистических испытаний" или
10. Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин: 1. Прямое преобразование псевдослучайного числа y являющегося реализацией
11. Методы моделирования нормально распределенной случайной величины: полярных координат (первый способ получения. Вычисляет две независимые нормально распределенные
12. 3 Марковские цепи Под марковским процессом понимается случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного
13. Область применения: исследование операций и теория принятия оптимальных решений. Основаны на понятии случайной функции и относятся
14. Марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние. Два варианта описания марковских процессов ‑
15. Рассмотрим численный пример, в котором имитируется стрельба из пушки по цели. Определим следующие три состояния: S0
16. Представление процесса в виде марковской цепи Проимитируем, используя таблицу случайных чисел, процесс стрельбы. Пусть начальное состояние
17. Проимитируем, используя таблицу случайных чисел, процесс стрельбы. Пусть начальное состояние будет S0. Возьмем последовательность из таблицы
18. Временная диаграмма, получаемая во время процесса моделирования Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6
20. Скачать презентацию

Слайд 2

1 Общие сведения о статистическом моделировании
Основным отличием статистических методов является построение

генеральной совокупности:
последовательность вариантов исходных данных, поступающих на вход системы, определяется не самим исследователем в зависимости от плана эксперимента, а генерируются с помощью датчика случайных чисел на компьютере.
Далее реакция проверяется не на реальном объекте исследований, а на модели.
Таким образом, основное место при использовании статистических методов занимает компьютер.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 3

В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются:
-

вероятностные аналитические модели
(влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов. Это приводит к усложнению вычислительной задачи и ограничивает применение данных моделей сравнительно простыми системами);
имитационные модели
(введение случайных возмущений не вносит принципиальных усложнений, что делает их наиболее часто применяемыми).
Исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 4

Статистическая модель случайного процесса ‑ это алгоритм, с помощью которого имитируют

работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям, причем полагается, что взаимодействие элементов системы носит вероятностный характер.
Оценка параметров модели осуществляется с помощью статистических методов: метода максимального правдоподобия, метода наименьших квадратов, метода моментов.
Этапы методики статистического моделирования:
1. Моделирование на компьютере псевдослучайных последовательностей с заданной корреляцией и законом распределения вероятностей (метод Монте-Карло), имитирующих случайные значения параметров при каждом испытании.
2. Преобразование полученных числовых последовательностей на имитационных математических моделях в генеральную совокупность.
3. Статистическая обработка результатов моделирования.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 5

Обобщенный алгоритм метода статистических испытаний
Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 6

Две области применения метода статистического моделирования:
‑ для изучения стохастических систем;

‑ для решения детерминированных задач.
В детерминированных системах предсказываемые значения могут быть вычислены точно, а в стохастических – лишь с некоторой долей вероятности.
Основная идея для решения детерминированных задач: замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи.
Достоинства:
- уменьшение погрешности с ростом числа испытаний (статистическая устойчивость результатов);
- возможность получения сведений о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 7

Основная сложность - учет стохастических воздействий:
‑ точность получаемых оценок зависит

от размера совокупности случайных чисел, генерируемых системой, что приводит к росту вычислительных затрат, обусловленных созданием данной совокупности;
‑ качество получаемых на основе статистических моделей результатов, их точность и достоверность определяются исходными (базовыми) последовательностями случайных чисел. Это приводит к необходимости разработки простых и экономичных способов формирования последовательностей случайных чисел требуемого качества.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 8

2 Методы генерирования случайной величины
Методы, используемые для получения случайных числовых последовательностей

с заданными вероятностными характеристиками, различаются видом распределения случайной величины на заданном интервале (a,b):
равномерным ;
нормальным;
‑ распределением Бернулли (случайная величина принимает значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1=1-p ;
‑ биномальным (n – общее число испытаний; m – число успешных опытов);
- Пуассона (вероятность реализации случайной величины со значением m и параметром распределения λ:

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 9

Численный метод, моделирующий случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1), получил

название "метод статистических испытаний" или "метод Монте-Карло".
Задачу моделирования случайных чисел с нормальным законом распределения решают в несколько этапов:
1. Вначале имитируют равномерное распределение и получают последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1).
2. Затем, используя равномерно распределенную псевдослучайную величину, получают последовательность псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения (чаще всего в нормированном виде, т.е. , ).

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 10

Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин:
1. Прямое преобразование псевдослучайного

числа y являющегося реализацией случайной величины Y, равномерно распределенной на интервале [0,1], с помощью некоторой функции W в число x, которое может рассматриваться как реализация случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения.
2. Отсеивание псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности Y равномерно распределенной на интервале [0,1], таким образом, чтобы оставшиеся числа были распределены по нормальному закону.
3. Моделирование условий, соответствующих центральной предельной теореме теории вероятности.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 11

Методы моделирования нормально распределенной случайной величины:
полярных координат
(первый способ получения. Вычисляет

две независимые нормально распределенные случайные величины x1 и x2 с и по двум заданным независимым равномерно распределенным случайным числам y1 и y2;
метод, основанный на центральной предельной теореме
(третий способ получения. Основан на приближенном воспроизводстве условий, при которых справедлива центральная предельная теорема теории вероятности)

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 12

3 Марковские цепи
Под марковским процессом понимается случайный процесс, эволюция которого после

любого заданного значения временного параметра t не зависит от эволюции, предшествовавшей t, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано.
«Будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем».
Понятие введено в 1907г А.А. Марковым.
Направление известно под названием теории цепей Маркова или «динамики вероятностей».
Основы общей теории марковских процессов с непрерывным временем были заложены Колмогоровым.
По существу марковские цепи аналогичны методу динамического программирования.
Отличие: на каждом шаге учитывается вероятность попадания системы в то или иное состояние. В связи с этим этот метод называют стохастическим динамическим программированием.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 13

Область применения: исследование операций и теория принятия оптимальных решений.
Основаны на понятии

случайной функции и относятся к частным случаям случайных процессов.
Если аргументом случайной функции является время или какой-то другой аргумент, то такой процесс называют случайным.
Случайные процессы могут быть с дискретным или непрерывным состоянием или временем.
Важное свойство случайных процессов - вероятностная связь между состояниями случайного процесса.
(Если в случайном процессе вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия – сложная цепь). Обычно применяют так называемый процесс укрупнения состояний путем математических преобразований, объединяя предшествующие состояния в одно.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 14

Марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние.
Два

варианта описания марковских процессов ‑ с дискретным и непрерывным временем:
В первом случае переход из одного состояния в другое происходит в заранее известные моменты времени ‑ такты (1, 2, 3, 4, …). Переход осуществляется на каждом такте, то есть исследователя интересует только последовательность состояний, которую проходит случайный процесс в своем развитии, и не интересует, когда конкретно происходил каждый из переходов.
Во втором случае исследователя интересует и цепочка меняющих друг друга состояний, и моменты времени, в которые происходили такие переходы.
Если вероятность перехода не зависит от времени, то марковскую цепь называют однородной.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 15

Рассмотрим численный пример, в котором имитируется стрельба из пушки по цели.

Определим следующие три состояния: S0 — цель не повреждена; S1 — цель повреждена; S2 — цель разрушена.
Таблица 2 – Вектор начальных вероятностей
Таблица 3 – Матрица вероятностей перехода дискретного
марковского процесса

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 16

Представление процесса в виде марковской цепи
Проимитируем, используя таблицу случайных чисел,

процесс стрельбы.
Пусть начальное состояние будет S0. Возьмем последовательность из таблицы случайных чисел: 0.31, 0.53, 0.23, 0.42, 0.63, 0.21, ….

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 17

Проимитируем, используя таблицу случайных чисел, процесс стрельбы.
Пусть начальное состояние будет

S0. Возьмем последовательность из таблицы случайных чисел: 0.31, 0.53, 0.23, 0.42, 0.63, 0.21, ….
0.31: цель находится в состоянии S0 и остается в состоянии S0, так как 0 < 0.31 < 0.45; 0.53: цель находится в состоянии S0 и переходит в состояние S1, так как 0.45 < 0.53 < 0.45 + 0.40;
0.23: цель находится в состоянии S1 и остается в состоянии S1, так как 0 < 0.23 < 0.45;
0.42: цель находится в состоянии S1 и остается в состоянии S1, так как 0 < 0.42 < 0.45;
0.63: цель находится в состоянии S1 и переходит в состояние S2, так как 0.45 < 0.63 < 0.45 + 0.55.
Так как достигнуто состояние S2 (далее цель переходит из S2 в состояние S2 с вероятностью 1), то цель поражена. Для этого в данном эксперименте потребовалось 5 снарядов.

Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Слайд 18

Статистическое моделирование. (Лекция 6)

Содержание

1 Общие сведения о статистическом моделированииОсновным отличием статистических методов является построение

В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются: -

Статистическая модель случайного процесса ‑ это алгоритм, с помощью которого имитируют

Обобщенный алгоритм метода статистических испытанийУчебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Две области применения метода статистического моделирования: ‑ для изучения стохастических систем;

Основная сложность - учет стохастических воздействий: ‑ точность получаемых оценок зависит

2 Методы генерирования случайной величиныМетоды, используемые для получения случайных числовых последовательностей

Численный метод, моделирующий случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1), получил

Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин:1. Прямое преобразование псевдослучайного

Методы моделирования нормально распределенной случайной величины:полярных координат (первый способ получения. Вычисляет

3 Марковские цепиПод марковским процессом понимается случайный процесс, эволюция которого после

Область применения: исследование операций и теория принятия оптимальных решений.Основаны на понятии

Марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние. Два

Рассмотрим численный пример, в котором имитируется стрельба из пушки по цели.

Представление процесса в виде марковской цепи Проимитируем, используя таблицу случайных чисел,

Проимитируем, используя таблицу случайных чисел, процесс стрельбы. Пусть начальное состояние будет

Временная диаграмма, получаемая во время процесса моделирования Учебно-исследовательская работа студента. Лекция

Похожие презентации

1 Общие сведения о статистическом моделировании
Основным отличием статистических методов является построение

В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются:
-

Обобщенный алгоритм метода статистических испытаний
Учебно-исследовательская работа студента. Лекция 6

Две области применения метода статистического моделирования:
‑ для изучения стохастических систем;

Основная сложность - учет стохастических воздействий:
‑ точность получаемых оценок зависит

2 Методы генерирования случайной величины
Методы, используемые для получения случайных числовых последовательностей

Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин:
1. Прямое преобразование псевдослучайного

Методы моделирования нормально распределенной случайной величины:
полярных координат
(первый способ получения. Вычисляет

3 Марковские цепи
Под марковским процессом понимается случайный процесс, эволюция которого после

Область применения: исследование операций и теория принятия оптимальных решений.
Основаны на понятии

Марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние.
Два

Представление процесса в виде марковской цепи
Проимитируем, используя таблицу случайных чисел,

Проимитируем, используя таблицу случайных чисел, процесс стрельбы.
Пусть начальное состояние будет

Временная диаграмма, получаемая во время процесса моделирования
Учебно-исследовательская работа студента. Лекция