Теория вероятностей и математическая статистика

Необходимые сведения из теории вероятности

Теория вероятностей – математическая наука, которая позволяет

Элементарные события и вероятность

Исход опыта - результат любого проводимого опыта (эксперимента).

События

Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом

Вероятность события

Вероятность события - численная мера степени объективной возможности этого события.

События

Несовместные события – это события, которые не могут появиться вместе.
Равновероятные события

Классическая формула для вероятности события

Вероятность события А - отношение благоприятного числа

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность

Статистическая вероятность

Относительная частота события А (статистическая вероятность) серии одинаковых опытов -

Комбинаторика

Комбинаторика изучает количество комбинаций, которое можно составить из элементов, заданного конечного

Перестановка

Перестановка - это комбинация, состоящие из одних и тех же n

Пример 1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,

Размещение

Размещение - это комбинация, составленные из n различных элементов по m

Пример 2

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета,

Сочетание

Сочетание - это комбинации, составленные из n различных элементов по m

Пример 3

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего

Основные правила комбинаторики

Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран

Пример 4

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность

Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух совместных событий,

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна

Пример

Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо

Теорема произведения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности

Пример 1

У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик

Формула Бернулли

Задача. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А

Пример

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не

Случайная величина

Дискретная случайная величина

Закон распределения

Ряд распределения ДСВ

Функция распределения СВ

Пример

Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеются 10 дефектных,

Непрерывная случайная величина

Плотность распределения НСВ

Интегральный и дифференциальный законы распределения

Функция распределения

Плотность распределения

Свойства функции распределения

Свойства плотности распределения

Числовые характеристики СВ

Мода и медиана

Начальный и центральный моменты СВ

,

2. Числовые характеристики случайной величины

Дисперсия

Вычислить дисперсию можно:

Среднее квадратическое отклонение

Пример 1

Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных,

Математическое ожидание
Дисперсия
СКО

Некоторые частные законы

Биномиальное распределение

где 0 < p < 1, q = 1 –

Геометрическое распределение
где 0 < p < 1, q = 1 –

Пуассоновское распределение

где k= 0, 1, 2, …,
λ > 0 –

Законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики:

,

,

,

.

Экспоненциальное (показательное) распределение

Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики:
Основные характеристики:

,

,

,

Нормальное распределение
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики :

,

,

,

.

Распределение Стьюдента
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики :
Основные характеристики :

,

,

Математическая статистика

Первая задача — указать способы сбора и группировки статистических сведений. (описательная

Выборочная и генеральная совокупности

Повторная и бесповторная выборки

Способы отбора

Статистическое распределение выборки

Дискретный вариационный ряд

;

Данные о количестве работников определенного возраста

Интервальный вариационный ряд

xmin и xmax
Формула Стэрджеса:
Интервальный вариационный ряд

Эмпирическая функция распределения

Свойства эмпирической функции распределения

Полигон и гистограмма

Площадь i-гo частичного прямоугольника равна hni/h = ni – сумме частот

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h = Wi – относительной частоте