Тригонометрические уравнения и неравенства

Содержание

Слайд 2

Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.

Слайд 3

Способы решений тригонометрических уравнений.

Способы решений

тригонометрических

уравнений.

Слайд 4

1. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к уравнениям высших степеней. Введём новую

1. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к уравнениям высших степеней.

Введём новую переменную

t=sinx, -1 t 1. Получим:

или

- не имеет смысла, т.к. -1 sinx 1 при .

Вернёмся к исходной переменной x. Получим:

Ответ: .

Слайд 5

2. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в их произведение. или Ответ: ,

2. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в

их произведение.

или

Ответ: ,

Слайд 6

3. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в их сумму или разность. или Ответ: ,

3. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в их сумму

или разность.

или

Ответ: ,

Слайд 7

4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. или Ответ: .

4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

или

Ответ: .

Слайд 8

5. Решение однородных уравнений. а) ! В однородных уравнениях всегда можно

5. Решение однородных уравнений.

а)

! В однородных уравнениях всегда можно делить на

sinx либо на cosx, т.к. они не могут одновременно равняться 0,
согласно основному тригонометрическому тождеству.

Уравнение является однородным, если в его правой части стоит 0. Если вместо 0 находится любое число, то его следует представить через основное тригонометрическое тождество.

уравнение первой степени:

Ответ: .

б) уравнение второй степени:

или

Ответ: ; .

Слайд 9

6. Решение уравнений методом понижения степени. или или Ответ: ; ; .

6. Решение уравнений методом понижения степени.

или

или

Ответ: ; ; .

Слайд 10

7. Решение тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрическую функцию под знаком радикала.

7. Решение тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрическую функцию под знаком радикала.

Слайд 11

0 P(1;0) x y 0 P(1;0) Ответ: ; .

0

P(1;0)

x

y

0

P(1;0)

Ответ: ; .

Слайд 12

8. Решение тригонометрических уравнений вида: или или а) или Ответ: ; .

8. Решение тригонометрических уравнений вида:

или

или

а)

или

Ответ: ; .

Слайд 13

б) или в) Ответ: ; . Ответ: .

б)

или

в)

Ответ: ; .

Ответ: .

Слайд 14

9. Решение линейных уравнений вида: Ответ: . 1 сп.

9. Решение линейных уравнений вида:

Ответ: .

1 сп.

Слайд 15

2 сп. - верно при

2 сп.

- верно при

Слайд 16

Проверка: - неверно, значит, , не являются корнями уравнения. Ответ: .

Проверка:

- неверно, значит, , не являются корнями уравнения.

Ответ: .

Слайд 17

3 сп. Ответ: .

3 сп.

Ответ: .

Слайд 18

10. Решение уравнений вида: или , получим : Вернемся к исходной переменной х. Получим:

10. Решение уравнений вида:

или

, получим :

Вернемся к исходной переменной х. Получим:

Слайд 19

- не имеет смысла, т.к. , при , значит, корней нет. Ответ: .

- не имеет

смысла, т.к. ,
при , значит, корней нет.

Ответ: .

Слайд 20

11. Решение тригонометрических уравнений с использованием свойств ограниченности функции. 0 P(1;0) Ответ: . x y

11. Решение тригонометрических уравнений с использованием свойств ограниченности функции.

0

P(1;0)

Ответ: .

x

y

Слайд 21

ЗАПОМНИТЬ!!! Если система содержит 2 тригонометрических уравнения, то нельзя решать с

ЗАПОМНИТЬ!!!

Если система содержит 2 тригонометрических уравнения, то нельзя решать с помощью

проверок, т.к. может произойти потеря корней.
Нужно решить оба уравнения и по тригонометрическому кругу найти общее решение.
Слайд 22

12. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Ответ: 4; -1 . а)

12. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ответ: 4; -1 .

а)

Слайд 23

б)

б)

Слайд 24

Ответ: 0,5 .

Ответ: 0,5 .

Слайд 25

13. Особые приёмы решения тригонометрических уравнений. а) или или Ответ: .

13. Особые приёмы решения тригонометрических уравнений.

а)

или

или

Ответ: .

Слайд 26

б) или Ответ: , .

б)

или

Ответ: , .

Слайд 27

14. Решение тригонометрических уравнений смешанного типа. а)

14. Решение тригонометрических уравнений смешанного типа.

а)

Слайд 28

Вернемся к исходной переменной x, получим: Область определения исходного уравнения x>0,

Вернемся к исходной переменной x, получим:

Область определения исходного уравнения x>0, т.е.

оба корня являются решением данного уравнения.

Ответ: , .

Слайд 29

б) 1. Оценим левую часть уравнения : 2. Оценим правую часть

б)

1. Оценим левую часть уравнения :

2. Оценим правую часть уравнения :

Т.к.


то в уравнении корней

нет.

Ответ: корней нет.

Слайд 30

Тригонометрические неравенства.

Тригонометрические неравенства.

Слайд 31

Алгоритм решения неравенств вида: (для знаков ) Отметить точку А на

Алгоритм решения неравенств вида:

(для знаков )

Отметить точку А на оси Ох

(Оу) и провести через неё прямую, перпендикулярную этой оси.
Отложить на окружности дугу, состоящую из всех точек окружности, абсциссы (ординаты) которых удовлетворяют этому неравенству.
* Эти все точки расположены по одну сторону от проведённой прямой.
Записать промежуток, прибавив к его концам .
* Левое число всегда меньше правого.
Слайд 32

Примеры. 1) P(1;0) 0 x y Ответ: . 2) 0 P(1;0) x y Ответ: .

Примеры.

1)

P(1;0)

0

x

y

Ответ: .

2)

0

P(1;0)

x

y

Ответ: .