Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.

Способы решений

тригонометрических

уравнений.

1. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к уравнениям высших степеней.

Введём новую переменную

2. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в

3. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в их сумму

4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

или

Ответ: .

5. Решение однородных уравнений.

а)

! В однородных уравнениях всегда можно делить на

6. Решение уравнений методом понижения степени.

или

или

Ответ: ; ; .

7. Решение тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрическую функцию под знаком радикала.

0

P(1;0)

x

y

0

P(1;0)

Ответ: ; .

8. Решение тригонометрических уравнений вида:

или

или

а)

или

Ответ: ; .

б)

или

в)

Ответ: ; .

Ответ: .

9. Решение линейных уравнений вида:

Ответ: .

1 сп.

2 сп.

- верно при

Проверка:

- неверно, значит, , не являются корнями уравнения.

Ответ: .

3 сп.

Ответ: .

10. Решение уравнений вида:

или

, получим :

Вернемся к исходной переменной х. Получим:

- не имеет

смысла, т.к. ,
при , значит, корней нет.

Ответ: .

11. Решение тригонометрических уравнений с использованием свойств ограниченности функции.

0

P(1;0)

Ответ: .

x

y

ЗАПОМНИТЬ!!!

Если система содержит 2 тригонометрических уравнения, то нельзя решать с помощью

12. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ответ: 4; -1 .

а)

б)

Ответ: 0,5 .

13. Особые приёмы решения тригонометрических уравнений.

а)

или

или

Ответ: .

б)

или

Ответ: , .

14. Решение тригонометрических уравнений смешанного типа.

а)

Вернемся к исходной переменной x, получим:

Область определения исходного уравнения x>0, т.е.

б)

1. Оценим левую часть уравнения :

2. Оценим правую часть уравнения :

Т.к.

Тригонометрические неравенства.

Алгоритм решения неравенств вида:

(для знаков )

Отметить точку А на оси Ох

Примеры.

1)

P(1;0)

0

x

y

Ответ: .

2)

0

P(1;0)

x

y

Ответ: .