Тройные интегралы. Вычисление объема тела

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Тройные интегралы. Вычисление объема тела

Содержание

2. Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла. Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области
3. Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом: f(x,y,z) – подынтегральная функция трех переменных. dxdydz –
4. Как решать тройной интеграл? Пример 1. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Варианты
5. 3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY => Двигаемся по OX Решение свелось
6. Пример 2. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж. Варианты ответа:
7. Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY Двигаемся по OX При интегрировании по
8. Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями Выполнить чертёжи данного тела и
9. Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к
10. Пример 4. С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где – произвольное положительное число.
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла.
Пусть функция f(x,y,z) определена в

ограниченной замкнутой области T, которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат Oxyz. Разобьем заданную область на n частей, которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно.
В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку Pi(xi,yi,zi)
n
составим интегральную сумму ∑f(xi,yi,zi)dVi
i=1

Слайд 3

Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом:
f(x,y,z) – подынтегральная функция трех

переменных.
dxdydz – произведение дифференциалов.
T – область интегрирования – пространственное тело ограниченное множеством поверхностей.
Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО:
В соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение dxdydz равно бесконечно малому объему dV элементарного тела.
Тройной интеграл объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела:

Слайд 4

Как решать тройной интеграл?
Пример 1.
С помощью тройного интеграла вычислить объем

тела, ограниченного поверхностями Варианты ответа:
1) 2) 3) 4)
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
1)используем формулу Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY.
2) выясняем, чем тело ограничено с сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж.
z=y² параболический цилиндр расположенный
над плоскостью XOY и проходящий через
ось OX:

Слайд 5

3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ
Двигаемся по OY =>

Двигаемся по OX
Решение свелось к двойному интегралу, используем формулу:
Ответ: 1)

Слайд 6

Пример 2.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

Выполнить чертёж.
Варианты ответа:
1) 2) 3) 4)
Решим систему получены
две прямые, лежащие в плоскости параллельные оси
Изобразим проекцию тела на плоскость XOY:
Искомое тело ограниченно плоскостью z=0
снизу и
параболическим цилиндром z=1-x² сверху:

Слайд 7

Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ
Двигаемся по OY
Двигаемся

по OX
При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла.
Ответ: 2)

Слайд 8

Пример 3.
Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями

Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость XOY.
Варианты отета:
1) 2) 3) 4)
Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость
представляет собой «одноимённую» окружность.
Плоскости ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг
Плоскость пересекает цилиндр под косым углом, в результате чего получается эллипс.
Из уравнения вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках

Слайд 9

Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент

в пользу перехода к цилиндрической системе координат:
Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
порядок обхода тела:
Ответ: 3)

Слайд 10

Пример 4.
С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где

– произвольное положительное число.
неравенство задаёт шар с центром в начале координат радиуса , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости сферическими сегментами сверху и снизу.
Варианты ответа:
1) 2) 3) 4)
Порядок обхода:

Тройные интегралы. Вычисление объема тела

Содержание

Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла.Пусть функция f(x,y,z) определена в

Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом:f(x,y,z) – подынтегральная функция трех

Как решать тройной интеграл?Пример 1. С помощью тройного интеграла вычислить объем

3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY =>

Пример 2.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY Двигаемся

Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями