Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. (Лекция 18)

порядка с постоянными коэффициентами.

линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:

Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой (при m>1 может быть потеряно решение y = 0).

z = y1-m

Действительно, , ; после деления уравнения (15) на получим , или - линейное уравнение.

ym

заменой

y(x) = u(x) v(x):

из этого выражения находим

u(x),

и y(x) = u(x) v(x).

попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы ), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура).

x2 + y

Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x(y):

Это уже уравнение Бернулли с m = -1.

Начальное условие примет вид x(1) = 2.

0 не удовлетворяет начальному условию).

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

Решение задачи Коши:

+ Q(x, y) dy = 0.

(16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что

Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:

Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна
т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0.

= C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений

Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .

дифференциалах.

Здесь:

т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа.

Ищем функцию u(x, y) такую, что

во втором уравнении системы:

Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y.

порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид

y’’+py’+qy=0 (1).

Если - корни характеристического уравнения (2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:

1.

, если

2.

, если

3.

, если

в виде суммы , где - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1.

, где

- многочлен степени n.

Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е. , то полагают , где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. , то где r – кратность корня а (r=1 или r=2)

же то полагают
где - многочлены степени r – кратность корней (для уравнений 2-го порядка r=1).

N=max{n,m},

В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

фундаментальная система решений .

y’’+py’+qy=f(x)

Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
, где функции определяются из системы уравнений

сразу определить по формуле:

здесь

- вронскиан решений

коэффициентами:

Найти общее решение уравнения

y’’-7y’+6y=0

Решение.

Составим характеристическое уравнение

; его корни

Следовательно,

- частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид

Найти общее решение уравнения

y’’-2y’+y=0

Решение.

Составим характеристическое уравнение

; его корни

Следовательно,

- частные линейно независимые решения, а общее решение имеет

характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения , а общее решение имеет вид

Найти общее решение уравнения

y’’-2y’-3y=

Решение.

Составим характеристическое уравнение

; его корни

Следовательно,

- частные линейно независимые решения, а общее решение однородного уравнения имеет вид:

правой части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку не является корнем характеристического уравнения).

Итак

Следовательно, общее решение данного уравнения:

а поэтому общее

решение однородного уравнения:

Частное решение следует искать в виде:

(в данном случае так как i является простым корнем характеристического уравнения, то m=n=0 и r=1, имеем:
Итак

Следовательно, общее решение данного уравнения

общее решение однородного уравнения:

Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.

Будем искать решение уравнения в виде , где функции

нужно искать из системы уравнений