Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. (Семинар 33)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. (Семинар 33)

Содержание

2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения с разделёнными переменными Так называются уравнения вида f(x) dx
3. Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение (1) в форме затем делим
4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) называется однородным если P(x, y),Q(x, y) –
5. Примеры с решениями: Решить уравнение (найти общий интеграл уравнения) y’cosx=y/lny Решение. Перепишем уравнение в виде y’cosx=y/lny=
6. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальном условии y(1)=1 Решение. Преобразуем данное уравнение к виду Интегрируя,
7. Введем подстановку y=ux. Откуда Тогда уравнение примет вид: Разделяя переменные и интегрируя, имеем: Преобразуем второй интеграл:
8. Найти частное решение уравнения при начальном условии Решение. Введем подстановку y=ux. Откуда Тогда уравнение примет вид:
9. Решить дифференциальное уравнение (2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0; Решение. Уравнение относится к однородному дифференциальному уравнению вида (2), так как Решаем
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Уравнения с разделёнными переменными
Так

называются уравнения вида

f(x) dx + g(y) dy = 0.

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е.

f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0.

Интегрируя это тождество, получим

- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Так называются уравнения вида

y’=f(x)g(y) (1)

или

(2)

Слайд 3

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение

(1) в форме

затем делим на g(y)

и умножаем на dx:

Интегрируя последнее уравнение, получаем

Уравнение (2) делим на получаем:

Интегрируя последнее уравнение, получаем:

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида:

Если перейти к новой неизвестной функции z=ax +by +c, то , и уравнение представляется как z’=bf (z)+a.
(уравнение с разделяющимися переменными).

Слайд 4

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)
называется однородным
если

P(x, y),Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Уравнение (1) может быть приведено к виду и при помощи подстановки y=x u, где u – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Может также применяться подстановка x=y u.

Уравнения, приводящие к однородным имеют вид:

(2)

Если , то, полагая в уравнении (2) , где постоянные определяются из системы уравнений получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных u, v.

Если , то полагая в уравнении (2) получим уравнение с разделяющими переменными.

Слайд 5

Примеры с решениями:
Решить уравнение (найти общий интеграл уравнения)
y’cosx=y/lny
Решение.
Перепишем уравнение

в виде

y’cosx=y/lny=

Разделив переменные, получим:

Проинтегрируем обе части уравнения:

Решить уравнение (найти общий интеграл уравнения)

y’=tgx tgy

Решения.

Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению

ctgydy=tgxdx

Интегрируя, имеем:
или

siny cosx=C

Слайд 6

Найти частное решение дифференциального уравнения при начальном условии y(1)=1
Решение.
Преобразуем данное

уравнение к виду

Интегрируя, получим

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем

ln1=-arctg1+c,

т. е.

, следовательно

Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение.

Здесь

Обе функции – однородные второго измерения.

Слайд 7

Введем подстановку y=ux.
Откуда
Тогда уравнение примет вид:
Разделяя переменные и

интегрируя, имеем:

Преобразуем второй интеграл:

Возвращаясь к прежней неизвестной функции y (u=y/x), получаем окончательный ответ

Слайд 8

Найти частное решение уравнения
при начальном условии
Решение.
Введем подстановку y=ux.

Откуда

Тогда уравнение примет вид:

Откуда

Возвращаясь к прежней неизвестной функции y (u=y/x), получаем

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем т. е. С=1, следовательно частное решение имеет вид

Слайд 9

Решить дифференциальное уравнение
(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0;
Решение.
Уравнение относится к однородному дифференциальному уравнению вида

(2),

так как

Решаем систему уравнений:

Производим в исходном уравнении замену переменных, полагая
Уравнение преобразуется к виду:

x=u-1; y=v+1; dx=du;

dy=dv;

(2u+v)du+(u+2v)dv=0;

В полученном однородном уравнении положим , откуда придем к уравнению с разделяющими переменными

v=ut,

dv=udt+tdu

общий интеграл которого есть
(после обратных замен и ).