Выпуклость графика функции. Точки перегиба

производная f’(x) является функцией от x на этом интервале.
f’(x) – первая производная или производная первого порядка функции f (x).
Если функция f’(x) имеет производную (дифференцируема) на интервале (a;b), то эту производную называют второй производной или производной второго порядка и обозначают
f’’(x)= (f’(x))’

(x) = - 2cos 2x
f’’ (x)= -4 sin 2 x

на рисунке в функция не является монотонной ( сначала возрастает, затем убывает).
Все кривые обладают общим свойством – с возрастанием x от a до b угловой коэффициент касательной к каждой из данных кривых уменьшается, т.е. производная каждой из соответствующих функций убывает на интервале (a;b)

функции у= f(x) при всех x ϵ (a;b) и x ≠ x0 лежит ниже касательной к этому графику в точке (x0; f(x0))
Поэтому функции называются выпуклыми вверх.
Таким образом, функция y=f (x), дифференцируемая на интервале (a;b) называется выпуклой вверх на этом интервале, если ее производная f’(x) убывает на интервале (a;b)
Аналогично, функция f(x) называется выпуклой вниз на интервале (a,b), если f’(x) возрастает на этом интервале.
Для любой точки x0 интервала (a;b) график функции у= f(x) при всех x ϵ (a;b) и x ≠ x0 лежит выше касательной к этому графику в точке (x0; f(x0))

этой функции.
Если функция f (x) имеет вторую производную на интервале (a;b).
Если f’’(x) >0 на интервале (a;b) , то функция выпукла вниз на интервале
Если f’’(x) <0 на интервале (a;b) , то функция выпукла вверх на интервале