Числовые последовательности и числовые множества и их свойства. Фундаментальная последовательность. (Семинар 2)
Определение Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство Теорема 1 Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности) Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N. Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности. Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Примеры с решениями 1.Доказать, что последовательность сходится. Доказательство. Оценим модуль разности Пусть - произвольное положительное число. Поскольку для этого существует N такое, что для любого верно неравенство . Значит, если , а p – произвольное натуральное число, то . Таким образом, условие Коши выполнено, и поэтому данная последовательность сходится. 2. Доказать, что последовательность расходится Доказательство. Оценим модуль разности Если здесь взять p=n , то получим Отсюда видно, что данная последовательность удовлетворяет отрицанию условия Коши. А именно, при для любого натурального N возьмем n=N, m=2N, тогда будем иметь Значит, данная последовательность не имеет конечного предела, то есть расходится. 3.Доказать, что последовательность имеет предел и найти его. Доказательство. Составим отношение . Поскольку (n+1)/(2n+3)