Моделирование процессов и систем. Экзаменационный билет №15

на базе частотных характеристик;
Методы исследования систем на устойчивость.

Вопросы экзаменационного билета №15

2/35

управлению.

3/35

от конкретной ситуации, так как организация — это открытая система, постоянно взаимодействующая с окружающим миром (внешней средой), поэтому главные причины того, что происходит внутри организации (во внутренней среде), следует искать в ситуации, в которой эта организация вынуждена действовать.
Центральный момент подхода - ситуация - конкретный набор обстоятельств, которые оказывают влияние на деятельность организации в текущий момент времени. Ситуационный подход связан с системным подходом и пытается увязать конкретные управленческие приемы и концепции с конкретными ситуациями.

Ситуационный подход

4/35

ситуациях и условиях.
Здесь важно «ситуационное мышление» — понимание того, какие приемы будут более эффективными для достижения целей в данной ситуации. Главная сложность в том, что ситуационные процессы многочисленны и взаимосвязаны и их нельзя рассматривать независимо друг от друга, поэтому руководителю бывает довольно сложно определить заведомо верный метод.
Ситуационный подход призван связать конкретные приемы и концепции управления с определенными конкретными ситуациями, изучить ситуационные различия между организациями и внутри самих организаций.

5/35

с эффективными средствами профессионального управления. Для этого нужно понимать процесс управления, особенности индивидуального и группового поведения, владеть навыками системного анализа, знать методы планирования и контроля, количественные методы принятия решений;
руководитель должен предвидеть вероятные последствия от применения в данной ситуации каждого из управленческих методов, которые всегда имеют как сильные, так и слабые стороны, а также определенные сравнительные характеристики. Например, можно увеличить заработную плату всем работникам за дополнительную работу, что, несомненно, на какое-то время повысит их мотивацию, но надо сравнить рост затрат с полученными выгодами; возможно, такая мера окажется разорительной для организации;
руководитель должен уметь правильно интерпретировать ситуацию, выявлять факторы, наиболее важные в сложившейся ситуации, определять возможный эффект от изменения тех или иных переменных показателей ситуации;
руководитель должен уметь увязывать конкретные приемы, которые дали минимальный негативный эффект, с конкретными ситуациями для обеспечения наибольшей эффективности в достижении целей организации.

универсальных управленческих процессов (планирование, организация, мотивация, контроль и связующие процессы — процесс коммуникации и процесс принятия решения). Эти процессы менеджмент называет управленческими функциями, а процесс управления — это сумма перечисленных управленческих функций .
«Отец» процессного подхода — Анри Файоль — утверждал, что «управлять означает предсказывать и планировать, организовывать, распоряжаться, координировать и контролировать».

Рисунок 2

8/35

множество смысловых значений. Мы под "моделью" будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.
Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах.
Модель — результат отображения одной структуры на другую. Отобразив физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы, или математическую модель физической системы.

Понятие о модели

10/35

2) фазо-частотную характеристику; 3) амплитудно-фазовую характеристику.

11/35

мнимую части:

Освобождаемся от i в знаменателе:

12/35

оси и приходит к 0.
Из этого графика видно, что амплитуда выходных колебаний, начинаясь с некоторого значения А(ω)=1, плавно убывает и при ∞→∞ А(∞)=0.

График 1

14/35

от частоты.

- амплитуда выходных колебаний.

15/35

∞ амплитуда выходных колебаний изменяется от значения К=1 до 0.

17/35

График 2

сигналами.

- фаза выходных колебаний.

 

18/35

0, а при ∞ → ∞ - стремится к – π/2.

20/35

График 3

близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рисунке показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. а) и устойчивой (рис. б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериоди­ческим (кривая 1 на рис. 3, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 3, а).

22/35

Рисунок 3

этого к дифференциальному уравнению переходного процесса:
y(t)D(p)=x(t)M(p),
где x(t) – входное воздействие, y(t) –функция переходного процесса.
Решение этого линейного неоднородного уравнения в общем виде состоит из двух составляющих:
y(t)=yуст(t)+yп(t).
Здесь yуст(t)—частное решение неоднородного уравнения с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие ре­жимы были рассмотрены ранее; yп(t) — общее решение однород­ного уравнения
y(t)D(p)=0,
описывающее переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.
Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы yп(t), вызванные любыми возмущениями, будут затухаю­щими, т. е. если с течением времени yп(t) будет стремиться к нулю.

23/35

интегрирования, определяющиеся началь­ными условиями и возмущением;λi— корни характеристического уравнения
D(λ)=0, где многочлен D(λ) есть левая часть уравнения динамики системы после замены оператора дифференцирования р на ком­плексную переменную λ.
В общем случае корни λi являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:
λi,i+1 = αi ± jβi , где αi может быть положительной или отрицательной величиной. Каждая такая пара корней дает в выражении составляю­щую переходного процесса, равную

где Сi’ и ϕi определяются через Сi и Сi+1.
Как видим, эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте.
Когда βi=0, имеем действительный корень λi=αi. Соответствующая ему составляющая переходного про­цесса представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться тоже в зависимости от знака αi.

24/35

и апериодических составляющих. Общим условием затухания всех состав­ляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрица­тельность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, т. е. всех полюсов (нулей зна­менателя) передаточной функции си­стемы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряжен­ных чисто мнимых корней λi,i+1 =± jβi , даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной βi. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью — система при этом находится на границе устойчивости.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформули­ровать еще так: условием устойчивости системы является располо­жение всех корней характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоско­сти или, короче, все они должны быть левыми.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

25/35

Рисунок 4

последовательно.

Критерии устойчивости

26/35

сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Эдвардом Раусом и затем швей­царским математиком Адольфом Гурвицем в конце прошлого века. При­ведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

где полагаем а0 > 0, что всегда можно обеспечить умножением многочлена на —1. Составим из коэффициентов этого многочлена определитель

Возьмем многочлен

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет п строк и п столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа п элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая — из второй сдвигом, вправо на один элемент.

На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

27/35

a0
Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Эти миноры отчерчены в выражении пунктирными линиями.
Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных зна­чений п.
Для п=1

и условия устойчивости сводятся к неравенствам:

a0>0, a1>0

Отсюда, например, звено первого порядка с передаточной функцией

является устойчивым, а звено с передаточной функцией

- неустойчивым.

Для n=2

Условия устойчивости:
a0>0, a1>0, a2>0 (к последнему неравенству сводится неравенство Δ2>0, если учесть предыдущее неравенство а1 > 0).

Например, звено с передаточной функцией

устойчиво, если перед всеми членами

в знаменателе стоит знак плюс.

28/35

устойчивости в качестве их части входит требова­ние положительности всех коэффициентов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого, необходимого, но недостаточного условия устой­чивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.
Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса — Гур­вица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказы­вается затруднительным выяснять влияние на устойчивость си­стемы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэф­фициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса — Гур­вица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров. При ре­шении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Рауса — Гурвица ста­новится неудобным уже для систем выше четвертого порядка.

29/35

ученым А. В. Михайловым и тоже основан на рассмотрении мно­гочлена D (λ).
Подставим в этот многочлен вместо λ мнимую переменную jω. В результате получим комплексную функцию:

D(jω)=UD(ω)+jVD(ω).

Изобразим D(jω) в виде годографа в комплексной плоскости (кривая 1 на рис.5, а). Этот годограф называется годографом Михайлова. При ω=0 функция D(jω)=an, т. е. годограф начинается на действительной оси.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф D(jω), начинаясь на действительной положитель­ной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n — порядок системы.
На рис. 5, а годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3; 4 и 5 — к неустойчивым системам.

Условием нахождения системы на границе устойчивости яв­ляется прохождение годографа Михайлова через начало коорди­нат (кривая 2 на рис. 5, а). Действительно, в этом случае суще­ствует значение ω, при котором D(jω)=0, т. е. характеристиче­ское уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней λ=± jω. Последнее и означает наличие в системе незатухающих колебаний, т. е. нахождение ее на границе устойчивости. На рис. б приведены годографы устойчивых систем разных порядков до п=6.

30/35

Рисунок 5

судить об устойчивости замкнутой си­стемы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (а. ф. ч. х.) W(jω) разомкнутой системы рис. 6.
Сформулируем этот критерий только для случая, когда изве­стно, что система в разомкнутом состоянии устойчива. Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы а. ф. ч. х. разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
На рис. 6 характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 — неустойчивой, а характеристика 2-нахождению системы на границе устойчивости.

31/35

Рисунок 6

по а. ф. ч. х., но и совместно по а. ч. х. и ф. ч. х. разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмиче­скими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.
Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в ра­зомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом со­стоянии является не охват а. ф. ч. х. W (jω) точки (-1, j0). По­следнее имеет место, если при частоте, на которой А(ω)=1, фаза ϕ(ω)>-π, т. е. абсолютное значение фазы меньше π.
Сказанное непосредственно следует из рис.6. Таким образом, применительно к логарифмическим характери­стикам, если учесть при этом, что значению А=1 соответствует L=20lgA=0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л. а. х. должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза окончательно пе­рейдет за значение —π. Или иными словами: на частоте среза ωср величина фазы должна быть мень­ше π.

32/35

варианта л. ф. х. ϕ(ω). В случае л. ф. х. 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответ­ствует а. ф. ч. х. 4 на рис.6. Л. ф. х. 2 соответствует нахожде­нию замкнутой системы на грани­це устойчивости, а л. ф. х. 3—не­устойчивой замкнутой системе.

33/35

Рисунок 7

судить по тому запасу, с которым выпол­няются входящие в этот критерий неравенства. При использова­нии графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчи­вости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится па границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет уда­ление годографа D(jω) от начала координат, а для критерия Найквиста — удаление характеристики W(jω) от точки (-1, j0).
Основное распространение в качестве меры запаса устойчиво­сти получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе Δϕ и запас устойчивости по амплитуде ΔL. Эти величины показаны на рис.7 для системы с л. ф. х., представленной кривой 2. Аналогично они могут быть найдены и по а. ф. ч. х.
Запас устойчивости по фазе определяется ве­личиной Δϕ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза, чтобы система оказалась на границс устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде опреде­ляется величиной ΔL допустимого подъема л. а. х., при котором система окажется на границе устойчивости.

34/35