ТПР. Метод однофакторной оптимизации. (Занятие 4)

К = f(X). Попробуем сделать это применительно к рассматриваемому примеру
с оптимизацией расположения распределителя в помещении длиной L.
Допустим, нашу трёхмерную задачу мы разделили на три одномерные, и ищем оптимальное значения продольной координаты распределителя, двигая его от одной стенки помещения, где расположены потребители, к другой стенке, попутно вычисляя сумму длин всех продольных участков магистралей,
соединяющих распределитель с потребителями:

Как будет выглядеть графическое отображение этой функции?

К1х

Х

Хп1

Хп3

Хп2

Хп4

Хп5

0

L

1-й этап: перемещение распределителя
от стенки (Хр=0) до продольной
координаты 1-го потребителя (Хр=Хп1)
На этом этапе распределитель будет
приближаться ко всем потребителям,
поэтому сумма длин всех продольных
участков магистралей, соединяющих
распределитель с потребителями,
будет уменьшаться.

К = f(X). Попробуем сделать это применительно к рассматриваемому примеру
с оптимизацией расположения распределителя в помещении длиной L.
Допустим, нашу трёхмерную задачу мы разделили на три одномерные, и ищем оптимальное значения продольной координаты распределителя, двигая его от одной стенки помещения, где расположены потребители, к другой стенке, попутно вычисляя сумму длин всех продольных участков магистралей,
соединяющих распределитель с потребителями:

Как будет выглядеть графическое отображение этой функции?

К1х

Х

Хп1

Хп3

Хп2

Хп4

Хп5

0

L

2-й этап: перемещение распределителя
от продольной координаты 1-го потре-
бителя (Хр=Хп1) до продольной коорди-
наты 2-го потребителя (Хр=Хп2)
На этом этапе распределитель будет
удаляться от потребителя 1, но прибли-
жаться ко всем остальным потребителям,
поэтому сумма длин всех продольных
участков магистралей продолжит умень-
шаться, но уже не так интенсивно.

К = f(X). Попробуем сделать это применительно к рассматриваемому примеру
с оптимизацией расположения распределителя в помещении длиной L.
Допустим, нашу трёхмерную задачу мы разделили на три одномерные, и ищем оптимальное значения продольной координаты распределителя, двигая его от одной стенки помещения, где расположены потребители, к другой стенке, попутно вычисляя сумму длин всех продольных участков магистралей,
соединяющих распределитель с потребителями:

Как будет выглядеть графическое отображение этой функции?

К1х

Х

Хп1

Хп3

Хп2

Хп4

Хп5

0

L

3-й этап: перемещение распределителя
от продольной координаты 2-го потре-
бителя (Хр=Хп2) до продольной коор-
динаты 3-го потребителя (Хр=Хп3)
На этом этапе распределитель будет
удаляться от двух потребителей, но при-
ближаться к трём, поэтому сумма длин
всех продольных участков магистралей
продолжит уменьшаться, но уже совсем
медленно.

К = f(X). Попробуем сделать это применительно к рассматриваемому примеру
с оптимизацией расположения распределителя в помещении длиной L.
Допустим, нашу трёхмерную задачу мы разделили на три одномерные, и ищем оптимальное значения продольной координаты распределителя, двигая его от одной стенки помещения, где расположены потребители, к другой стенке, попутно вычисляя сумму длин всех продольных участков магистралей,
соединяющих распределитель с потребителями:

Как будет выглядеть графическое отображение этой функции?

К1х

Х

Хп1

Хп3

Хп2

Хп4

Хп5

0

L

4-й этап: перемещение распределителя
от продольной координаты 3-го потре-
бителя (Хр=Хп3) до продольной коор-
динаты 4-го потребителя (Хр=Хп4)
На этом этапе распределитель будет
удаляться от трёх потребителей, а при-
ближаться к двум, поэтому сумма длин
всех продольных участков магистралей
начнёт увеличиваться, правда пока ещё
медленно.

К = f(X). Попробуем сделать это применительно к рассматриваемому примеру
с оптимизацией расположения распределителя в помещении длиной L.
Допустим, нашу трёхмерную задачу мы разделили на три одномерные, и ищем оптимальное значения продольной координаты распределителя, двигая его от одной стенки помещения, где расположены потребители, к другой стенке, попутно вычисляя сумму длин всех продольных участков магистралей,
соединяющих распределитель с потребителями:

Как будет выглядеть графическое отображение этой функции?

К1х

Х

Хп1

Хп3

Хп2

Хп4

Хп5

0

L

Я полагаю, суть происходящего Вы
уже поняли, поэтому нет необходимости
подробно объяснять, как дальше будет
изменяться наш критерий.

Созерцание полученного графика
позволяет сделать ряд полезных
выводов

кусочно-линейной функцией, имеющей перегибы в точках,
соответствующих продольным координатам потребителей.

ВЫВОД 2:
Из вывода 1 следует, что минимум критерия может располагаться только в точках
перегиба. Значит, в алгоритме поиска достаточно распределителю задать продольные
координаты потребителей, вычислить соответствующие значения критерия и выбрать
ту координату, которая даст наилучшее значения критерия.

ВЫВОД 3:
Достаточно очевидно, что эти соображения справедливы и для других координат (поперечной и вертикальной). Значит, количество шагов N для решения трёхмерной оптимизационной задачи определяется формулой:

N = 3n

где n − количество потребителей

Обратившись к результатам, полученным в Презентации-3, можем констатировать,
что проведённое исследование свойств объекта оптимизации позволило гарантировать
отсутствие риска пропуска оптимального решения при минимальном количестве
опытов математического эксперимента.

ВЫВОД 4: Получив задание построить мост, полезно предварительно подумать,
как следует его строить: вдоль реки или поперёк!

. . Хn*} = ?

5.1 Аналитическая оптимизация в многомерном пространстве

Отличается от
одномерной
только тем, что
для поиска
экстремума
используется
система
уравнений:

Условие применимости метода те же: все функции К=f(Xi) должны быть дифференцируемы на всём диапазоне возможных изменений Xi. Если условие не соблюдается – надо переходить к дискретным методам оптимизации (спускаться ниже в средней колонке классификации).

Некоторая тонкость заключается в том, что решение
может оказаться за пределами области, ограниченной
диапазонами возможных изменений параметров Xi
(т.е. внутри области экстремума нет). В таком случае
оптимум надо искать на границе области. На какой?
На той, которая даст наилучший результат.

биолог и путешественник Николай Николаевич Миклухо-Маклай,
различали четыре количественных меры: один, два, три и много.

Прежде всего, уточним, что мы будем в дальнейшем понимать под термином
«многопараметрический».

Специалисты в области теории принятия решений смотрят на вещи несколько проще:
всё, что больше одного, они называют «много». Следуя в этом русле, и мы с Вами
ограничимся рассмотрением особенностей оптимизации объекта, имеющего только
2 изменяемых параметра (фактора). На сути методов это не сказывается, но зато предо-
ставляет возможность наглядной иллюстрации рассматриваемых алгоритмов.

принимать во внимание время и утверждения некоторых физиков
о наличии 11 измерений), у нас есть возможность наглядно пред-
ставить функцию К = f(X1, X2) в виде некоторой поверхности в прямо-
угольной системе координат (спасибо Рене Декарту!)

Если речь идёт о поиске максимума,
эта поверхность будет иметь вид «горы»,
координаты вершины которой и дадут
искомую комбинацию значений варьи-
руемых параметров X1 и X2.

В аксонометрии это может выглядеть
примерно так.

Понятно, что при поиске минимума
придётся спускаться на дно
«горного ущелья».

Работать с аксонометрией не очень удобно, поэтому воспользуемся тем приёмом,
который применяют картографы для изображения рельефа местности на плоских
картах: они наносят на план местности линии равного уровня.