Численное моделирование стержневых систем (лекция 1)

Август 1, 2022

Главная
Разное
Численное моделирование стержневых систем (лекция 1)

Содержание

2. Основная литература 1. MIDAS Family Programs. http://www.midasit.ru. 2. О. Зенкевич Метод конечных элементов в технике. М.:
3. Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, решения интегральных уравнений,
4. 1956 г. - Р. Клафф - опубликована первая работа, в которой была представлена современная концепция МКЭ;
5. 1960–1965 г.г. разработаны основные соотношения МКЭ на основе вариационных принципов – метод стало возможным использовать не
6. Метод конечных элементов основан на математическом представлении реальной сплошной конструкции ее дискретной моделью (конечные элементы объединяются
7. 1 – исходная конструкция и нагрузка на нее; 2 – оптимизация конструкции для создания модели –
8. В узлах на систему накладываются граничные условия (закрепления), прикладываются внешние силы, задаются свойства материала, ищется решение
9. Основное уравнение МКЭ для статических расчетов связывает эти два вектора (1.1) где {R} – вектор узловых
10. Уравнение (1.1) является частью полное уравнение движения для статических и динамических расчетов (1.2) где [M] –
11. Для перехода от узловых перемещений к перемещениям (напряжениям, деформациям) в любой точке рассматриваемой области применяют интерполяционные
12. Примеры интерполяционных функций для стержневых элементов. Линейный полином где r – локальная координата одномерного элемента Локальные
13. Квадратичный полином
14. Кубический полином
15. Отсюда следует важное правило МКЭ – для повышения точности расчета в большинстве случаев следует применять более
16. В общем виде элементы матрицы жесткости определяются по формуле , (1.4) где [B] – матрица дифференциальных
17. Поскольку в МКЭ интегрирование выполняется численно, то рабочая формула для расчета элементов матрицы жесткости имеет вид
18. ri
19. Перемещения в узлах конечных элементов определяются также соответствующими степенями свободы. В балочных стержневых КЭ в общем
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Основная литература
1. MIDAS Family Programs. http://www.midasit.ru.
2. О. Зенкевич Метод конечных элементов в технике.

М.: Мир, 1976 – 542 с.
3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М., Стройиздат, 1982 – 448 с.
Дополнительная литература
4. Основы метода конечных элементов: учеб. пособие / Л.А. Адегова, Б.М. Зиновьев. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2015. – 131 с.

Слайд 3

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод
решения дифференциальных уравнений с частными

производными,
решения интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики (механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики и т.д.).
История.
1954–1960 г.г. - Дж. Аргирис
- предложена матричная формулировка известных численных методов для применения ЭВМ;
Разработан общий метод расчета стержневых систем в матричной форме на базе энергетических принципов,
определена матрица податливости, введено понятие матрицы жесткости (как обратной матрице податливости).

Слайд 4

1956 г. - Р. Клафф
- опубликована первая работа, в которой была

представлена современная концепция МКЭ;
на основе решения плоской задачи теории упругости разработан треугольный конечный элемент, для которого была описана матрица жесткости и вектор узловых сил.
в 1960 г. впервые применен термин "конечный элемент" ("finite element") и этот год можно считать годом рождения метода конечных элементов (МКЭ).

Слайд 5

1960–1965 г.г.
разработаны основные соотношения МКЭ на основе вариационных принципов – метод

стало возможным использовать не только для решения задач строительной механики, но и во многих других отраслях знаний (гидродинамике, электротехнике и т.д.).
на основе вариационных принципов созданы конечные элементы для решения задач изгиба плит, тонких оболочек, объемных твердых тел.
1967 г. - О. Зенкевич и И. Чанг
опубликована первая монография о МКЭ, в которой изложены основы метода и области его применения
1970-е г.г. - Р. Галлагер, Дж. Оден, Г. Стренг и другие
- математическая теория конечных элементов сформирована в современном виде.

Слайд 6

Метод конечных элементов основан на
математическом представлении реальной сплошной конструкции ее дискретной

моделью (конечные элементы объединяются между собой в узлах и только в узлах можно достоверно говорить о состоянии конструкции);
замене дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние сплошных тел, системой алгебраических уравнений.
Суть метода - область (одно- , двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей, в которых ищется решение системы (1.1).
Такие подобласти носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки – дискретизацией или составлением сетки КЭ.

Слайд 7

1 – исходная конструкция и нагрузка на нее;
2 – оптимизация конструкции

для создания модели – например, исключение «лишних» деталей, не влияющих на результаты расчета или если конструкция симметрична - рассмотрение только ее части;
3 – разбивка расчетной модели на конечные элементы;
4 – наложение граничных условий и нагрузок (полная КЭ модель с сеткой конечных элементов)

Слайд 8

В узлах
на систему накладываются граничные условия (закрепления),
прикладываются внешние силы,
задаются

свойства материала,
ищется решение задачи в виде перемещений узлов и реакций в узлах.
Для каждого узла составляются следующие векторы (здесь и далее – терминология матричной алгебры):
- вектор-столбец перемещений узлов, вызванных внешними усилиями
- вектор-столбец внешних усилий и реакций в узлах

Слайд 9

Основное уравнение МКЭ для статических расчетов связывает эти два вектора
(1.1)
где

{R} – вектор узловых сил, {u} – вектор узловых перемещений, [K] – матрица жесткости системы (ансамбля) конечных элементов.
Поскольку в КЭ-расчете известными (заданными) являются внешние силы {R}, а неизвестными - перемещения узлов {u}, то уравнение (1.1) решается в виде
(1.1а)
где [K ]-1 – матрица, обратная матрице жесткости [K].

Слайд 10

Уравнение (1.1) является частью полное уравнение движения
для статических и динамических расчетов
(1.2)
где

[M] – матрица масс; [C ] – Матрица демпфирования; [K ] – матрица жесткости; p(t) – нагрузка (реакции); u (t), ˙u (t) и ü(t) – относительные перемещение, скорость и ускорение соответственно

Слайд 11

Для перехода от узловых перемещений к перемещениям (напряжениям, деформациям) в любой

точке рассматриваемой области применяют интерполяционные (аппроксимирующие) функции или функции формы.
В общем виде перемещения и координаты записываются как
(1.3)
где xi – координаты i-го узла элемента; ui – перемещения i-го узла элемента; hi – интерполяционная функция (функция формы ); n – число узлов.
В простейшем виде функции формы являются линейными.

Слайд 12

Примеры интерполяционных функций для стержневых элементов.
Линейный полином
где r – локальная координата

одномерного элемента
Локальные координаты элементов
всегда лежат в пределах от -1 до +1

Слайд 13

Квадратичный полином

Слайд 14

Кубический полином

Слайд 15

Отсюда следует важное правило МКЭ
– для повышения точности расчета в большинстве

случаев следует применять более частое расположение узлов, т.е. создавать более мелкую разбивку модели на конечные элементы.
Матрица жесткости конечного элемента в уравнениях (1.1) и (1.2) содержит компоненты:
- отражающие деформативные свойства материала (матрицу упругости [D]);
- отвечающие за интерполяцию данных между узлами конечного элемента;
- выполняющие преобразование элементов матрицы, записанных в локальной системе координат конечного элемента, в глобальную систему координат всей модели.

Слайд 16

В общем виде элементы матрицы жесткости определяются по формуле
, (1.4)
где
[B]

– матрица дифференциальных операторов, выполняющая интерполяцию данных между узлами конечного элемента и преобразование элементов матрицы из локальной системы координат конечного элемента в глобальную систему координат модели;
[D] – матрица упругости;
Ω – условное обозначение области интегрирования: для стержневого элемента это будет его длина, для плоскостного элемента – его площадь, для объемного элемента – его объем.

Слайд 17

Поскольку в МКЭ интегрирование выполняется численно, то рабочая формула для расчета

элементов матрицы жесткости имеет вид
, (1.5)
где r, s, t – количество точек интегрирования вдоль соответствующих осей локальной системы координат конечного элемента;
Hr, Hs, Ht – весовые коэффициенты квадратуры Гаусса (принятого метода численного интегрирования);
det J – определитель матрицы Якоби.

Слайд 18

ri

Слайд 19

Перемещения в узлах конечных элементов определяются также соответствующими степенями свободы.
В балочных

стержневых КЭ в общем случае существует шесть степеней свободы
– три линейных перемещения вдоль соответствующих локальных осей координат
три угла поворота вокруг тех же осей.
Как разновидность стержневых элементов используются ферменные стержни, названные так по характеру работы элементов ферм – на продольные усилия.
В таких стержнях количество степеней свободы – две, только линейные.

Численное моделирование стержневых систем (лекция 1)

Содержание

Основная литература1. MIDAS Family Programs. http://www.midasit.ru.2. О. Зенкевич Метод конечных элементов в технике.

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный методрешения дифференциальных уравнений с частными

1956 г. - Р. Клафф- опубликована первая работа, в которой была

1960–1965 г.г.разработаны основные соотношения МКЭ на основе вариационных принципов – метод

Метод конечных элементов основан наматематическом представлении реальной сплошной конструкции ее дискретной

1 – исходная конструкция и нагрузка на нее;2 – оптимизация конструкции

В узлахна систему накладываются граничные условия (закрепления), прикладываются внешние силы, задаются

Основное уравнение МКЭ для статических расчетов связывает эти два вектора (1.1)где

Уравнение (1.1) является частью полное уравнение движениядля статических и динамических расчетов (1.2)где