Экономический анализ и корректировка оптимального решения

оптимального решения
5.Корректура оптимального плана

площади застройки городских земель
При разработке схемы генерального плана развития населенного пункта предполагаются различные виды и направления застройки земель.
Учитывая ресурсы, выделяемые на строительство и соответствующие нормы затрат, необходимо определить оптимальное сочетание направлений и площади застройки населенного пункта.
Критерий эффективности - чистый доход, получаемый от использования объектов недвижимости.

в жилых многоэтажных зданиях;
Х2 – количество м2 в жилых коттеджах;
Х3 – площадь магазинов, м2;
Х4 – площадь складских помещений, м2;
Х5 – площадь под заправочными станциями, м2.

0,0001*Х2+ 0,0001*Х3+ 0,0001*Х4+ 0,0001*Х5 ≥ 20
по инвестиционным вложениям на 1м2 площади, тыс. руб.
0,5*Х1+ 1,0*Х2+ 0,5*Х3+ 0,2*Х4+ 0,3*Х5 ≤ 3000
по трудовым затратам на 1м2, чел. дн.
10*Х1+ 15*Х2+ 10*Х3+ 8*Х4+ 10*Х5 ≤ 50000

max

задачи, то есть от неравенств к уравнениям.
Данный переход осуществляется путем введения дополнительных переменных в определенном порядке: избыточные, остаточные, искусственные.

знаком "- ". Они показывают насколько левая часть неравенства превышает правую, а с экономической точки зрения, показывают - превышение плана.
Избыточная переменная Х6, вставляется в ограничение 1 со знаком "-"

0,0001*Х4+ 0,0001*Х5 –Х6 = 20
Х6 – площадь дополнительно выделенных земель, га

остаточная переменная, она показывает насколько левая часть неравенства меньше правой, насколько ресурсы недоиспользуются.
Остаточные переменные Х7, Х8 вставляются в ограничения 2, 3 со знаком "+".

руб.
0,5*Х1+ 1,0*Х2+ 0,5*Х3+ 0,2*Х4+ 0,3*Х5 +Х7 = 3000
3) по трудовым затратам на 1м2, чел. дн.
10*Х1+ 15*Х2+ 10*Х3+ 8*Х4+ 10*Х5 +Х8 = 50000
Х7 – недоиспользованные инвестиционные вложения, тыс. руб.
Х8 – недоиспользованные трудовые затраты на 1м2, чел. дн.

дополнительных переменных вводят искусственные, с целью получения положительных значений базисных переменных.
Искуственную переменную Х9 вставляют в ограничение 1 со знаком "+"

Симпл-Delphi

= 26, N1 = 10
==================
На 8-й итерации понижена размерность задачи - исключены искусственные
переменные.
Результаты решения симплексной задачи
(Максимизация целевой функции)
=====================================
Z = 5.47201E+0002
=====================================================================================================
Ном.| базисные|Ном.| Aio |Коэфф. замещ. для некоторых небаз. перем.
ст- | пере- |огр.|(Значение |
ро- | менные |для | базисной | Ai2 | Ai4 | Ai11 | Ai13 | Ai15 | Ai22 | Ai24 |
ки | |доп.| перем.) | (X2) | (X4) | (X11) | (X13) | (X15) | (X22) | (X24) |
i | Xjб |пер.| | (осн.) | (осн.) |(изб. в |(изб. в |(ост. в |(ост. в |(ост. в |
| | | | | |огр. 13)|огр. 15)|огр. 1)|огр. 8)|огр. 10)|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1 |X7 (осн.)| - | 216.418| -0.221| 0.060| 1.254| 0.254| 0.000| 3.284| -0.299|
2 |X16(ост.)| 2 | 145.672| -0.084| -0.061| 0.015| 0.015| 0.000| 0.134| -0.194|
3 |X17(ост.)| 3 | 3400.000| 1.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000|
4 |X18(ост.)| 4 | 425.000| -0.700| 0.000| 1.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000|
5 |X19(ост.)| 5 | 2300.000| 0.000| 1.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000|
6 |X20(ост.)| 6 | 682.463| -0.973| -1.791| 0.388| -0.612| 0.000| 1.493| -1.045|
7 |X21(ост.)| 7 | 2698.790| 0.110| -0.030| -0.627| 0.373| 0.000| -1.642| 0.149|
8 |X14(изб.)| 16 | 715.672| -0.884| 0.239| 5.015| 1.015| 0.000| 13.134| -1.194|
9 |X23(ост.)| 9 | 1160.260| 0.302| -1.463| -0.416| -0.016| 0.000| -2.448| -0.687|
10 |X3 (осн.)| - | 25.000| 0.700| 0.000| -1.000| 0.000| 0.000| 0.000| 0.000|
11 |X10(осн.)| - | 935.075| -0.654| -1.418| -2.776| 0.224| -1.000| -2.985| 2.090|
12 |X12(изб.)| 14 | 820.149| 3.893| 7.164| -1.552| 2.448| 0.000| -5.970| 4.179|
13 |X8 (осн.)| - | 5.000| -0.960| 0.000| -0.200| 0.000| 0.000| 0.000| -1.000|
14 |X5 (осн.)| - | 292.537| 0.973| 1.791| -0.388| 0.612| 0.000| -1.493| 1.045|
15 |X6 (осн.)| - | 41.791| 0.110| -0.030| -0.627| -0.627| 0.000| -1.642| 0.149|
16 |X9 (осн.)| - | 670.000| 0.960| 0.000| 0.200| 0.000| 0.000| 0.000| 1.000|
=====================================================================================================
(Zj-Cj) 547.201| 0.145| 0.872| 0.204| 0.104| 0.000| 0.940| 0.642|
=====================================================================================================
Индексная строка:
====================================================================================================
Небазисная переменная, | X1 | X2 | X4 | X11 | X13 | X15 |
ее тип (номер соотв. ограничения)|осн. |осн. |осн. |изб. ( 13)|изб. ( 15)|ост. ( 1)|
====================================================================================================
(Zj-Cj) | 8.7E-0001| 1.4E-0001| 8.7E-0001| 2.0E-0001| 1.0E-0001| 0.0E+0000|
====================================================================================================
============================================
X22 | X24 | X25 | X26 |
ост. ( 8)|ост. ( 10)|ост. ( 11)|ост. ( 12)|
============================================
9.4E-0001| 6.4E-0001| 6.4E-0001| 6.4E-0001|
============================================

основных, остаточных и избыточных переменных Xj, при котором,
во-первых, удовлетворяются ограничения и,
во-вторых, целевая функция принимает оптимальное (наибольшее или наименьшее) значение.

оптимальное решение — значения в столбце Аio базисных переменных
оптимальное значение целевой функции, находящееся в индексной строке в том же столбце (Zj);
небазисные переменные равны нулю ;
коэффициенты замещения (коэффициенты структурных сдвигов), расположенные в столбцах небазисных переменных (Aij);
элементы индексной строки, соответствующие небазисным переменным (Zj-Cj).

хозяйства, направления производства, или в нашей задаче виды землеустроительных работ, которые целесообразно развивать для достижения максимального чистого дохода.

землеустроительные работы, которые проводить нецелесообразно.

доход фирмы, достигаемый npи оптимальном землеустроительных работ (Zmax);
Любое другое сочетание отраслей в условиях ограниченности ресурсов, в том числе проведение неэффективных работ (придание ненулевых значений небазисным переменным), будет приводить к ухудшению оптимального плана.

то есть соответствующие им ресурсы являются недефицитными.

равные нулю), характеризуют полностью исчерпанные, то есть дефицитные, ресурсы.
Всякое увеличение дефицитного ресурса обеспечивает дополнительное развитие эффективных землеустроительных работ и увеличение дохода фирмы.

работ

быть, равная нулю), свидетельствует о точном выполнении (без перевыполнения) заданного в соответствующем ограничении требования по производству работ.
Более того, попадание избыточной переменной в число небазисных свидетельствует о том, что перевыполнение плана невыгодно с точки зрения максимизации целевой функции.
Соответствующие плановые задания можно назвать критическими — их включение в условия задачи, как правило, сдерживает дальнейшее повышение эффективности работы фирмы в целом.

скорректировать, изменить исходные данные.
Для этого используют коэффициенты замещения.

проведения землеустроительных работ, не вошедших в базисное решение;
появляются дополнительные источники дефицитные ресурсы в фирме или, наоборот, реальная ресурсная база по сравнению с предварительно прогнозируемой сужается.

показывают, как изменяется значение базисной переменной из i-и строки при изменении небазисной переменной на единицу (то есть при вве­дении в оптимальный план небазисной переменной), соответствующей j-му столбцу.
Аналогично элементы индексной строки определяют изменения целевой функции.

называют прежде всего потому, что с их использованием можно корректировать оптимальное решение по данным последней симплекс-таблицы, «замещая» значения базисных переменных небазисными.
При этом существенно экономится время на приближение оптимального решения к новым экономическим условиям, возникающим после решения задачи.

в оптимальный план небазисной переменной, ее влияние на значения базисных переменных и целевой функции зависят от того, является ли она основной, остаточной или избыточной.
Проведение неэффективной землеустроительной работы, то есть введение в план основной небазисной переменной, всегда будет приводить к ухудшению решения.
Можно вводить в оптимальный план только положительные значения переменных.

в план основной небазисной переменной хj сначала необходимо определить узкое место, то есть максимальное значение небазисной переменной которое можно ввести в базис.
Для этого значения базисных переменных делятся на значения коэффициентов замещения вводимой переменной. Эти манипуляции совершаются только с положительными коэффициентами замещения. Хj max = Ajб/+Aij
Определяем допустимый интервал значений вводимой в базис основной переменной xj.
0Далее рассчитывают новые значения целевой функции и базисных переменных.
Aioнов=Aio -Aij *Хj
Zjнов=Zj- Aij *Хj

в базис остаточную переменную
Также ищем узкое место, но в случае дополнительных переменных здесь делим значения базисных переменных и на положительные и на отрицательные коэффициенты замещения. Ajб/-Aij≤ Хj max ≤ Ajб/+Aij
Далее рассчитывают новые значения целевой функции и базисных переменных.
Aioнов=Aio -Aij *Хj
Zjнов=Zj- Aij *Хj