Гиперболический хаос

Содержание

Введение. Базовые понятия
Аттракторы
Хаос
Гомоклинические структуры
Дикие гиперболические множества

1. Введение

Исследование устойчивости, изучение роли инвариантных многообразий, анализ геометрической структуры траекторий,

Предмет качественной теории – сосредоточенные системы, где

Таким образом, можно предложить геометрический подход ввести преобразование сдвига, или фазовый

Поток при имеет взаимно обратную функцию той же гладкости .

система

Говорят, что свойство динамической системы яв-ляется грубым (или структурно устойчивым), если

Диссипация фазовый объем сжимается

При t→∞ фазовый объем стремится к нулю.

Это предельное

Рассмотрим маятник в среде:

Это положение словно бы «притягивает» маятник из

Формально это означает следующее:

U называется областью притяжения аттрактора A.

F t

Рассмотрим систему:

Точки , в которых , называются положениями равновесия или стационарными

1

– действительные и одного знака

узел

устойчивый

неустойчивый

Пример

2

– действительные и разных знаков

седло

3

фокус

неустойчивый

устойчивый

Пример

4

– чисто мнимые

центр

седло-узел

неустойчивое многообразие

устойчивое
многообразие

W s

W u

седло-фокус

неустойчивое многообразие

устойчивое
многообразие

W s

W u

W s

W u

Более сложные аттракторы:

Маятник с возмущением в среде

Седловой цикл:

W s и W u – называются устойчивым и неустойчивым

В отображении Пуанкаре такой цикл отвечает седлу:

Устойчивый узел

Устойчивый фокус

Аттракторы:

Устойчивый предельный цикл

Устойчивый тор

3. Хаос

Пусть M – метрическое пространство. Система F t: M →

Гиперболические множества

Такие множества служат хорошим примером для понимания «устройства» хаотических систем.

W s

W u

γ

Теорема о локальных многообразиях (Адамара-Перрона): у гиперболической траектории существуют

Если вдоль траектории γ оценки ухудшаются, т.е. степень сжатия и растяжения

Подкова Смейла

Точки p, которые всегда остаются в S, образуют канторово множество. Это

4. Гомоклинические структуры

Пусть система имеет седловой цикл с устойчивым и неустойчивым

Гомоклиническое касание

Такие траектории обладают тем свойством, что

Поэтому гомоклинические траектории называются двоякоасимптотическими.

Из наличия одной гомоклинической траектории следует существование бесконечного их числа:

В исходном

Рождение подков

Рассмотрим малую окрестность U гиперболической точки H:

U

Следствие. Наличие гомоклинической точки

Системы с гомоклиническими петлями негрубые. Поэтому при возмущениях петли расщепляются, что

U – окрестность точки O:

W s делит U на U+ и

Для

Отображение преобразует область в «толстую спираль» , т.е. .

Таким образом, горизонтальные полосы на D отображают-ся на полосы, лежащие внутри

Существует диффеоморфизм
и

Таким образом, получим следующую картину:

подкова Смейла Ω

5. Дикие гиперболи-ческие множества

Системы с касаниями W s и W u

В зависимости от геометрии, в системе возможны только три различных типа

II тип

Множество Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ0 в

III тип

Множество Δ содержит нетривиальные гиперболические подмножества и, следовательно, системы такого

Этот результат поясняет следующее построение:

Действие отображения f приводит к тому, что

При возмущении f(x,a) касания исчезают или появляются пересечения многообразий

Допустим, что устойчивое и неустойчивое
многообразия имеют квадратичное касание:

При возмущении такой структуры

Теореме Ньюхауса: для общих семейств диффео-морфизмов f(x,a) существуют интервалы, где плотны

Таким образом, для гиперболического инвариантного множества Λ, которое задается диффеоморфизмом f(x,a),

Сложность динамики систем с гомоклиническими касаниями

В областях Нюьхауса плотны системы,

При гладких возмущениях систем с гомоклиническими касаниями могут рождаться циклы произвольно

6. Гипреболические и другие аттракторы

Аттрактор динамической системы называется странным, если он

Странные аттракторы обладают некоторой степенью гиперболичности, однако эта гиперболичность имеет иную

Обычно считается, что динамическая система обладает странным аттрактором, если в ее

Структурно устойчивое (грубое) множество

Гиперболический аттрактор Смейла-Вильямса

Гиперболический аттрактор Плыкина

Адекватным математическим образом наблюдаемого разви-того хаотического поведения физической системы может слу-жить

7. Приложения

Бильярды – неравномерно гиперболические системы:

Система Дуффинга. В такой системе существуют подковы Смейла.

Небесная механика. Здесь тоже существуют подковы Смейла.

Нелинейный маятник. Здесь наблюдаются гомо- и гетероклинические структуры.

фазовое пространство

Основные достижения теории хаотических динамических систем:
доказано, что даже очень простые