Изгиб. Основные понятия

оси и валы транспортных средств, рельсы, детали машин, механизмов и строительных сооружений.

Именно изгиб часто является причиной поло-мок, разрушений и аварий.

ИЗГИБ

– это консольная балка или консоль.

ИЗГИБ

Изгиб - вид деформации, который связан с изменением кривизны бруса под действием поперечных сил и внешних пар.

сило-вая плоскость (плоскость действия изгибающего момента) проходит через одну из главных осей инерции

Поперечный изгиб может быть плоским пря-мым или косым изгибом.

Если в поперечном сечении действует только изгибающий момент, деформация называет-ся чистый изгиб.

ИЗГИБ

балки, в основ-ном, используются следующие связи:

стержень с шарнирами на концах (шарнирно-подвижная опора)

цилиндрический шарнир (шарнирно-непод-вижная опора),

жесткая заделка.

все силы действуют пер-
пендикулярно продольной оси балки, горизон-
тальная составляющая реакции равна нулю.

Третье уравнение используют для проверки правильности определения реакций

Для балки на двух опорах обычно использует-ся следующая система уравнений:

сечении балки возникают внутренние усилия: поперечные силы и изгибающие моменты.

Для их нахождения используется метод сечений.

z

F

B

А

YA

YB

z

1

1

Рассмотрим равно-весие левой части балки.

сил и главный момент, равный сумме моментов внешних сил относительно центра сечения.

Внутренние усилия при изгибе

Qz

O

Mz

А

F

YA

z

a

О - центр сечения

Выполним приведение систе-мы сил к центру сечения О

ΣFky= 0; -Qz + YA- F = 0

Изгибающий момент Мz в любом сечении равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от сечения балки относительно центра тяжести сечения.

Поперечная сила Qz в любом сечении равна алгебраической сумме проекций всех внеш-них сил, приложенных с одной стороны от се-чения на ось в плоскости сечения, перпенди-кулярную к продольной оси балки.

Qz

O

Mz

А

F

YA

z

a

Внутренние усилия при изгибе

Мz= YA·z - F ·(z - a)

Qz = YA- F

от сечения вверх, а правую - вниз

В противном случае поперечная сила отрицательна.

Внутренние усилия при изгибе

вниз: сжатые волок-на вверху.

При изгибе балки выпуклостью вверх изгибаю-щий момент считается отрицательным.

Правило знаков

Внутренние усилия при изгибе

сечениями элемент балки длиной dz.

Рассмотрим равновесие элемента

1)ΣFky=0; Q–Q–dQ– qdz=0

Дифференциальная зависимость между q, Q и M

qdz·dz/2 + М+dМ = 0;

Слагаемыми второго порядка малости можно пренебречь

и

2) ΣМо=0;

- М – (Q + dQ)dz– qdz·dz/2 + М+dМ = 0;

откладывая вверх от оси балки положи-
тельные значения, вниз - отрицательные.

Балка вычерчивается в выбранном масшта-
бе с указанием размеров и нагрузок;

2. Определяются реакции с обязательной про-
веркой;

3. Балка разбивается на отдельные участки со своим законом нагружения;

4. Для каждого участка записываются уравне-
ния для определения Qz и Мz;

5. Вычисляют ординаты Qz и Мz по составлен-
ным для участков уравнениям;

меняется

-Qz1- qz1+ YA= 0

Qz1 = YA- qz1

ΣY= 0;

Mz1 = YA·z1- q

Qz1

Mz1

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

= YA= ;

Qz1=l = YA-ql = - ql =- ;

«Q»

Поперечная сила по длине участ-ка принимает значение равное нулю, а так как поперечная сила – первая производная изгибаю-щего момента, то момент будет иметь в этой точке экстремаль-ное значение

Найдем координату, при которой Q=0.

YA- qz1 = 0

z1 = YA/q= =

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

квадратичная, то линия, ограничивающая эпюру моментов - парабола

Эпюра построена на сжатом волокне

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

координат в т. В

Мz1= = ;

A

B

z

YA

YB

F

z

«М»

F·b = 0;

(3)

YA+YB - = 0

Проверка

(1)

(2)

(3)

0 = 0

+

- F = 0

Определение реакций

(1)

YB=

(2)

YA=

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

начале координат в точке А.

Qz1 = YA= ;

y

Mz1 = YA·z1

Mz1=0 = 0;

Mz1=а =

При рассмотрении 2-го участка начало координат переносится в точку В

Qz2 = -YВ= - ;

Mz2 = YВ·z2

Mz2=0 = 0;

Mz2=b =

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

-YА·3а+F·a +F·2a = 0;

(3)

YA+YB - 2 F= 0

Проверка

(1)

(2)

(3)

0 = 0

y

z

A

B

YA

YB

F

a

а

Определение реакций

а

F

F + F - 2 F= 0

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

нагрузка, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

3. На участках, где приложена равномерно распре-деленная нагрузка, эпюра Qz изменяется по закону прямой наклонной линии, а эпюра Мz - по закону квадратичной параболы. В том сечении, где эпюра Qz пересекается с осевой линией, на эпюре Мz наблюдается экстремальное значение момента (вершина параболы)

1.На концевых шарнирных опорах поперечная сила Qz равна реакциям, а Мz равны нулю, если на опорах не приложены пары с моментами М.

ИЗГИБ Внутренние усилия

эпюре Qz наблюдаются скачки (перепады) на величину этих сил, а на эпюре Мz - переломы смежных линий.

5. В тех сечениях, где приложены пары с моментами М, на эпюре Мz наблюдаются скачки на величину этих моментов.

6. На свободном конце консольной балки поперечная сила Qz равна нулю, если в этом месте не приложена сосредоточенная сила; и изгибающий момент Мz равен нулю, если в этом месте не приложена пара с моментом М

7. В жесткой заделке консольной балки Qz равна реакции, а изгибающий момент Мz равен моменту заделки.

ИЗГИБ Внутренние усилия

сечений 1-1 и 2-2, для сечения 3-3 - на правой стороне.

Запишем аналитические выражения для Q в каждом сечении и рассчитаем значения на концах сечений:

Mz3= YВz3; Mz3=0=0; Mz3=1,1=46,95 кНм.

Qz1= YА - q·z1; Qz1=0=51,3 кН; Qz1=4,4=7,3 кН.

Qz2= YА - q·4,4- F Qz2=4,4=-42,7 кН. Qz2=5,5=-42,7кН.

Определяем изгибающие моменты:

Mz1= YА· z1 - q·z12/2; Mz1=0=0; Mz1=4,4=128,92 кНм.

Mz2= YА· z2 - q·4,4·(z2-2,2) –F(z2–4,4); Mz2=4,4=128,92 кНм;

Mz2=5,5=81,95 кНм;

Строим по полученным данным эпюру поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Выбираем масштаб и отклады-
ваем положительные значения ординат эпюр от нулевой линии вверх, а отрицательные - вниз.
Опасное сечение - сечение с изгибающим моментом, равным 128,92 кНм.

ИЗГИБ Внутренние усилия Примеры

и 2 остаются прямыми, но поворачиваются друг относи-тельно друга на некоторый угол

2)часть волокон при изгибе удли-няется, другая – укорачивается, между ними есть слой, длина волокон которого не меняется, напряжения в них отсутствуют

Такой слой волокон называется нейтральным, а линия пересече-ния нейтральных волокон с плос-костью сечения называется нейт-ральной осью

не давят, т. е находятся в линейном напряженном состоянии

3)Деформации волокон по ширине сечения одинаковы

Ограничения

1)Балка должна иметь хотя бы одну ось симметрии

2) Материал балки должен подчиняться закону Гука

ИЗГИБ Определение напряжений и деформаций

и деформаций

деформаций

Статическая сторона

выводы

1)Нейтральная ось проходит через центр сечения

2)Нейтральная ось является главной осью инерции и перпендикулярна силовой плоскости

3)Нормальные напряжения определяются по формуле

или

3)Касательные напряжения определяются по формуле Журавского

ИЗГИБ Определение напряжений и деформаций

по длине балки эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
2.Подобрать поперечное сечение балки двутаврового профиля, материал Cталь 3 при σadm = 160 МПa,
τadm = 96 МПа.
3. Подобрать прямоугольное поперечное сечение балки, материал – дерево, σadm = 10 МПa.
4. Провести проверку стальной балки на жёсткость, определив по методу начальных параметров величину прогибов балки в характерных сечениях. Принять уadm=(1/100) l.

ИЗГИБ Пример выполнения задания

YВ·6,6 = 0;
YВ =(- M + q·4,4·2,2 + F·4,4)/6,6 = 42,7 кН.

ΣM(В)=0; M + q ·4,4·4,4 + F·2,2 – YА·6,6 = 0;
YА =(M + q ·4,4·4,4 + F·2,2 )/6,6 = 51,3 кН.

Проверка ΣY =0; YА + YВ - q·4,4 - F =0;
51,3 + 42,7 – 44 – 50 =0 0=0.

ИЗГИБ Пример выполнения задания

Вычерчиваем балку в масштабе с указанием раз-
меров и нагрузок

часть

Характер нагружения:
YA и q

выполнения задания

2.Определяем количество участков и их границы.

1

1

z1=0; z1=4,4 м;

Изменился характер нагружения, добавилась сила

2

выполнения задания

Определяем количество участков и их границы.

1

1

z1=0; z1=4,4 м;

2

выполнения задания

Определяем количество участков и их границы.

1

1

z1=0; z1=4,4 м;

2

Переносим начало координат на правую опору

Характер нагружения: YB

сечений 1-1 и 2-2, для сечения 3-3 - на правой стороне.

Запишем аналитические выражения для Q в каждом сечении и рассчитаем значения на концах сечений:

Qz1= YА - q·z1; Qz1=0=51,3 кН; Qz1=4,4=7,3 кН.

Qz2= YА - q·4,4- F; Qz2=4,4=-42,7 кН. Qz2=5,5=-42,7кН.

ИЗГИБ Пример выполнения задания

81,95 кНм;

Mz2= YА· z2 - q·4,4·(z2-2,2) –F(z2–4,4);

Mz1= YА· z1 - q·z12/2;

Mz1=0=0; Mz1=4,4=128,92 кНм.

Mz2=4,4=51,3·4,4 - 10·4,4·2,2-50(4,4-4,4)=128,92 кНм;

Mz3=0=0; Mz3=1,1=46,95 кНм.

эпюр от нулевой линии вверх, а отрицательные - вниз.

Опасное сечение - сечение с изгиба-
ющим моментом, равным 128,92 кНм.

балки совпадает с осью х

Подбор сечения двутаврового профиля выполняем из условия прочности при изгибе

откуда

ИЗГИБ Пример выполнения задания

выполнения задания

Проверка по максимальным касательным напряжениям:

Sx- статический момент отсеченной (верхней части) относительно оси х в сечении;

<96 МПа

условие прочности по касательным напряжениям также выполняется.

ИЗГИБ Пример выполнения задания

х

Учитывая условие прочности,

ИЗГИБ Пример выполнения задания

имеем