Понятие формирующего фильтра и его свойства

Здесь x(t) – n-мерный случайный процесс, называемый вектором состояния.
– не зависящий от x(0) центрированный p-мерный белый шум, называемый порождающим.
F(t) – матрица динамики;
G(t) – матрица порождающих шумов.
Задача заключается в определении математического ожидания и матрицы ковариаций для вектора состояния x(t).

Постановка задачи

Понятие формирующего фильтра и его свойства

для уравнения .
Математическое ожидание, матрица ковариаций и корреляционная функция определяются следующими соотношениями:
(3)
(4)
(5)
Матрица ковариаций является решением дифференциального уравнения
. (6)

Общее решение

Понятие формирующего фильтра и его свойства

процесса на выходе стационарной системы
1. Математическое ожидание процесса x(t) не зависит от времени при выполнении условия .
2. Матрица ковариаций не зависит от времени если существует матрица P∞ , такая что при P= P∞
(9)
Если матрицу ковариаций P(0) для вектора x(0) выбрать совпадающей с решением этого уравнения P(0)=P∞, то процесс x(t) становится стационарным, поскольку P(t)≡P(0).

Стационарный процесс

Понятие формирующего фильтра и его свойства

уравнения
(11)
существует, но начальная матрица ковариаций не совпадает с P∞, то, поскольку P→P∞ при увеличении времени, процесс после завершения переходного режима при t → ∞ можно считать стационарным.

Условиями стационарности процесса на выходе стационарной системы при поступлении на ее вход белого шума являются центрированность значений процесса в начальный момент времени, наличие решения уравнения (9) и выбор начальной матрицы ковариаций, совпадающей с этим решением.

Понятие формирующего фильтра и его свойства

и процесс x(t) также будет гауссовским.
Замечание 2
Используя выражение
(13)
можно убедиться в том, что процесс x(t) является марковским. Если зафиксировать моменты времени t1>t2>t3 , то значение процесса в момент t3 при фиксированных его значениях в моменты t1 и t2 зависит только от момента t2 и не зависит от t1. При этом белый шум не зависит в статистическом смысле от начальных условий x(0).

Понятие формирующего фильтра и его свойства