Математическая логика

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Математическая логика

Содержание

2. Математическая логика Математическая логика— это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности
3. Математическая логика разработана в середине ХIХ века английским математиком Джорджем Булем. Ее создание представляло собой попытку
4. Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедложение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или
5. Каждому логическому высказыванию сопоставляется логическая переменная.
6. Не всякое предложение является логическим высказыванием. Пример: ученик десятого класса; информатика — интересный предмет; в городе
7. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только
8. Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются
9. Примеры Элементарные высказывания: Петров — врач; Солнце светит. Составные высказывания : Петров — врач и шахматист
10. Логические операции Основными логическими операциями являются операции И, ИЛИ, НЕ. Им соответствуют связки И, ИЛИ, НЕ
11. Операция НЕ выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание
12. Операция И выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается
13. Операция ИЛИ выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение)
14. Операция ЕСЛИ-ТО выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией (лат.
15. Замечание В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических
16. Примеры импликаций если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы; если арбуз — ягода,
17. Операция РАВНОСИЛЬНО выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией
18. Примеры высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23
19. Высказывания А и В, образующие составное высказывание A↔B , могут быть совершенно не связаны по содержанию,
20. Таблицы истинности логических операций
22. Число различных бинарных функций = ? 16
23. Логическая формула С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть
24. Порядок вычисления логических операций Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация, эквивалентность.
25. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
26. Вычислить формулу z=¬x∧y∨¬(x∨y) ∨x
28. Упрощение формул алгебры логики
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Математическая логика
Математическая логика— это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны

их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Слайд 3

Математическая логика разработана в середине ХIХ века английским математиком Джорджем Булем.

Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Слайд 4

Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедложение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно

oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.
Пример:
"6 — четное число"
"Рим — столица Франции"

Слайд 5

Каждому логическому высказыванию сопоставляется логическая переменная.

Слайд 6

Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример:
ученик десятого класса;
информатика — интересный

предмет;
в городе A более миллиона жителей ;
у нее голубые глаза.

Слайд 7

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если...

, то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Слайд 8

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.

Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Слайд 9

Примеры
Элементарные высказывания:
Петров — врач;
Солнце светит.
Составные высказывания :
Петров — врач и

шахматист ;
Петров — врач или шахматист

Слайд 10

Логические операции
Основными логическими операциями являются операции И, ИЛИ, НЕ.
Им соответствуют связки

И, ИЛИ, НЕ естественного языка.

Слайд 11

Операция НЕ
выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над

высказыванием (или знаком ).
Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

Слайд 12

Операция И
выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или

логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками ∧ или &).
Высказывание А ∧ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывание "10 делится на 2 и 5 не больше 3", — ложно.

Слайд 13

Операция ИЛИ
выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется

дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).
Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывание "10 делится на 2 или 5 больше 3", — истинно.

Слайд 14

Операция ЕСЛИ-ТО
выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "...

влечет ...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком →.
Высказывание А → В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Слайд 15

Замечание
В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь

между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому импликации, образоваться высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.

Слайд 16

Примеры импликаций
если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы;
если

арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин.

Слайд 17

Операция РАВНОСИЛЬНО
выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "...

равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~. Высказывание А ↔ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Слайд 18

Примеры
высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда

24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны;
высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.

Слайд 19

Высказывания А и В, образующие составное высказывание A↔B , могут быть

совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" (А), "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух" (¬A), "пингвины не живут в Антарктиде" (¬B). Образованные из высказываний А и В составные высказывания A↔B и ¬A ↔ ¬B истинны, а высказывания ¬A ↔ B и A ↔ ¬B — ложны.

Слайд 20

Таблицы истинности логических операций

Слайд 21

Слайд 22

Число различных бинарных функций =
?
16

Слайд 23

Логическая формула
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание

можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Можно говорить о вычислении логического высказывания в смысле вычисления эквивалентной ему логической формуле.

Слайд 24

Порядок вычисления логических операций
Отрицание
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация, эквивалентность.

Слайд 25

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Слайд 26

Вычислить формулу z=¬x∧y∨¬(x∨y) ∨x

Слайд 27

Слайд 28

Математическая логика

Содержание

Математическая логикаМатематическая логика— это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны

Математическая логика разработана в середине ХIХ века английским математиком Джорджем Булем.

Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедложение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно

Каждому логическому высказыванию сопоставляется логическая переменная.

Не всякое предложение является логическим высказыванием. Пример:ученик десятого класса;информатика — интересный

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если...

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.

Примеры Элементарные высказывания:Петров — врач;Солнце светит.Составные высказывания :Петров — врач и

Логические операцииОсновными логическими операциями являются операции И, ИЛИ, НЕ.Им соответствуют связки

Операция НЕ выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над

Операция И выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или

Операция ИЛИ выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется

Операция ЕСЛИ-ТО выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "...

Замечание В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь

Примеры импликацийесли президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы;если

Операция РАВНОСИЛЬНОвыражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "...

Примеры высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда