Методы преобразования плоскостей проекций

Содержание

Слайд 2

Общие положения Методы преобразования плоскостей проекций применяются для облегчения решения какой-либо

Общие положения

Методы преобразования плоскостей проекций применяются для облегчения решения какой-либо поставленной

задачи. В пространстве с объектом ничего не происходит. Все преобразования выполняются только на комплексных чертежах.
Слайд 3

Общие положения Все методы можно разделить на две группы: 1) Объект

Общие положения

Все методы можно разделить на две группы: 1) Объект жестко

зафиксирован в пространстве. Вокруг него меняется исходный базис (плоскости проекций П1 и П2) на новый базис так, чтобы объект отразился в удобном для решения задачи положении (метод замены плоскостей проекций).
2) Исходный базис (П1 иП2) жестко зафиксирован в пространстве. Объект перемещается (вращается) так, чтобы он отразился на исходные плоскости П1 и П2 в удобном для решения задачи положении (методы: вращения и плоско- параллельного перемещения) .
Слайд 4

Общие положения Независимо от метода преобразования, в задаче выделяется главный элемент,

Общие положения

Независимо от метода преобразования, в задаче выделяется главный элемент, с

которым и выполняются преобразования. Все остальные элементы (объекты) задачи являются зависимыми от главного и преобразуются вместе с ним.
Главным элементом может быть прямая или плоскость
Слайд 5

Общие положения Типовые задачи: Главный элемент – прямая Прямую общего положения

Общие положения

Типовые задачи:
Главный элемент – прямая
Прямую общего положения преобразовать в линию

уровня
L→ L‘ ‖ П
2) Прямую общего положения преобразовать в проецирующую
L→ L‘‘┴ П
Слайд 6

Общие положения Главный элемент – плоскость 3) Плоскость общего положения преобразовать

Общие положения
Главный элемент – плоскость
3) Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую

α→ α‘ ┴ П
4) Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня
α → α‘‘ ‖ П
Слайд 7

Образование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций. Ах Ах Ах Ах

Образование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций.

Ах

Ах

Ах

Ах

Сущность метода замены плоскостей проекций

состоит в том, что предмет остается неподвижен, а плоскости проекций принимают положение, удобное для решения задачи. Например, если вместо плоскости П2 взять плоскость П4, то высота точки (координата Zа) отразится одинаково на обеих вертикальных плоскостях.

1

Слайд 8

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1

методом замены плоскостей проекций

Отрезок проецируется в натуральную 1,4
величину в том случае, если он параллелен плоскости проекций.
Если вместо П2 поставим плоскость П4, параллельно АВ, то на П4 отрезок проецируется в натуральную величину
[ АВ ] ║ П4→А1В1‖ Х1,4

α

1,2

Х1,4

Слайд 9

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1

Отрезок

прямой АВ- общего положения, поэтому его проекции на П1 и П2 искажены.
Для нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П1 надо преобразовать прямую АВ в прямую уровня (фронталь), для чего необходимо заменить плоскость П2 на новую П4, параллельную АВ
[ АВ ] ║П4 → [ А1 В1 ] ║Х1,4
[ А4В4 ] →Натур. величина [ АВ ]
Угол α является углом наклона прямой к плоскости П1
Слайд 10

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П2

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П2

Для

нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П2 надо преобразовать прямую АВ в прямую уровня (горизонталь), для чего необходимо заменить плоскость П1 на новую П4, параллельную АВ
[ АВ ] ║П4 → [ А2 В2 ] ║Х2,4
Отбрасывая плоскость П1, забираем координаты точек Уа и Ув и откладываем их на новой плоскости от оси Х2,4
[ А4В4 ] →Натур. величина [ АВ ]
Угол β является углом наклона прямой к плоскости П2
Слайд 11

Задача 6.1 (стр.30): Определить расстояние от точки А до прямой ВС

Задача 6.1 (стр.30): Определить расстояние от точки А до прямой ВС

методом замены плоскостей проекций

Расстояние от точки А до прямой ВС = перпендикуляру, опущенному из точки А к прямой ВС.
Решение: Главный элемент – прямая. Необходимо прямую преобразовать в проецирующую
(2 типовая задача).

Слайд 12

1.Отрезок прямой общего положения преобразовываем в прямую уровня. Для этого заменяем

1.Отрезок прямой общего положения преобразовываем в прямую уровня.

Для этого заменяем плоскость П2

на П4, которую ставим
параллельно прямой ВС
(на чертеже Х1,4 ║ [ В1С1 ] )
Отбрасывая плоскость П2,
забираем высоты точек В (Zв) и С (Zс) и откладываем их на новую плоскость П4 по линиям связи от оси Х1,4
[ В4С4 ] = н.в. [ ВС ]
Слайд 13

Точка А также проецируется на новую плоскость П4 Забираем высоту (.)А

Точка А также проецируется на новую плоскость П4
Забираем высоту (.)А

→ (ZА) с плоскости П2 и откладываем от оси Х1,4 по
линии связи на П4 – получаем проекцию А4

А2

А2

Слайд 14

2. Прямую уровня преобразовываем в проецирующую. Для этого отбрасываем плоскость П1

2. Прямую уровня преобразовываем в проецирующую.

Для этого отбрасываем плоскость П1 и вместо

нее берем плоскость П5, перпендикулярно к прямой ВС.
Х4,5 ┴ [ В4 С4 ]
Строим проекции прямой ВС и точки А на плоскость П5
Слайд 15

Так как отбрасываем плоскость П1, забираем с нее информацию о удалении

Так как отбрасываем плоскость П1, забираем с нее информацию о удалении

точек.
Измеряем расстояния от В1, А1, С1 до оси Х1,4 и откладываем их на плоскости П5 от оси Х4,5, получаем соответственно проекции В5≡С5, А5
(расстояния выделены желтым цветом)
Слайд 16

Соединяем проекции точек А5 и В5≡ С5. Получаем натуральную величину [АО]

Соединяем проекции точек А5 и В5≡ С5. Получаем натуральную величину [АО]

-расстояния от точки А до прямой ВС. Точка О является основанием перпендикуляра.
В5≡ С5 ≡О5
Слайд 17

В задаче необходимо показать, как выглядят проекции отрезка [АО] на исходных

В задаче необходимо показать, как выглядят проекции отрезка [АО] на исходных

плоскостях проекций: П1 и П2.
Т.к. на П5 [АО] проецируется в натуральную величину, следовательно отрезок АО расположен параллельно к плоскости П5.Значит на П4 проецируется в прямую, параллельную оси Х4,5. Через (.)А4 проводим прямую, параллельную оси Х4,5 и определяем проекцию (.)О4
Слайд 18

Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х1,4 определяем положение проекции

Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х1,4 определяем положение проекции

О1 и, соединив А1 и О1, получим [А1О1]
Слайд 19

По линиям связи перпендикулярно оси Х1,2 находим проекцию О2. Соединяем А2

По линиям связи перпендикулярно оси Х1,2 находим проекцию О2. Соединяем А2

и О2 – получим фронтальную проекцию А2О2
Слайд 20

Определение натуральной величины двугранного угла Главный элемент Чтобы определить натуральную величину

Определение натуральной величины двугранного угла

Главный элемент

Чтобы определить натуральную
величину двугранного угла,


необходимо преобразовать его
таким образом, чтобы общее ребро (линия пересечения двух плоскостей) стало проецирующим. Тогда пространственный угол = плоскому углу DAC
Слайд 21

Задача 6.6 (стр.33) Определить натуральную величину двугранного угла В том случае,

Задача 6.6 (стр.33) Определить натуральную величину двугранного угла
В том случае, если общее

ребро ВС двугранного
угла – прямая общего положения, задача
решается в два действия (вторая типовая: прямую общего положения преобразовать в проецирующую).
Слайд 22

Ребро ВС двугранного угла считаем главным элементом ( г.э. ) Преобразовываем

Ребро ВС двугранного угла считаем главным
элементом ( г.э. )
Преобразовываем ребро [

ВС ] в прямую уровня.
Вместо плоскости П2 возьмем плоскость П4, параллельную ВС
[ ВС ] ║ П4 →
Х1,4 ║ [ В1С1 ] →
Далее определяем направление проецирования на плоскость П4 (линии связи из всех проекций точек идут перпендикулярно оси Х1,4
Слайд 23

Определяем проекции точек на плоскости П4. Отбрасывая плоскость П2, забираем с

Определяем проекции точек на плоскости П4. Отбрасывая плоскость П2, забираем с

нее информацию о высотах точек- ZА, ZD, ZВ,ZС и откладываем по линиям связи соответствующих точек от оси Х1,4 на П4
Слайд 24

Соединим проекции точек А4-В4-С4-D4. Получим проекцию двугранного угла на П4 [

Соединим проекции точек А4-В4-С4-D4. Получим проекцию двугранного угла на П4
[ В4

С4 ] - н.в. главного элемента (Г.Э.)
Слайд 25

Прямую ВС преобразуем в проецирующую Вместо плоскости П1 возьмем плоскость П5

Прямую ВС преобразуем в проецирующую

Вместо плоскости П1 возьмем плоскость П5 ┴

ВС.
На чертеже новая ось Х4,5 ┴В4С4
Слайд 26

Отбрасывая плоскость П1, забираем расстояния от проекций точек А1,В1,С1, D1 до

Отбрасывая плоскость П1, забираем расстояния от проекций точек А1,В1,С1, D1 до

оси Х1,4 и откладываем их на плоскости П5 от оси Х4,5

Расстояния выделены желтым цветом. Получаем проекции точек
А5, В5≡С5, D5
Как видим, главный элемент ВС проецируется в точку

Слайд 27

Соединяем проекции А5, В5≡С5, D5 . Получим натуральную величину плоского угла α, равного двугранному

Соединяем проекции А5, В5≡С5, D5 . Получим натуральную величину плоского угла

α, равного двугранному
Слайд 28

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую Чтобы определить угол наклона плоскости

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Чтобы определить угол наклона плоскости общего

положения к плоскости проекций, необходимо преобразовать эту плоскость в
проецирующую (3 типовая задача).
Плоскость перпендикулярна другой плоскости, в том числе плоскости проекций в том случае, если она содержит в себе прямую,
перпендикулярную этой плоскости.
Слайд 29

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую Рассмотрим аксонометрическую модель. Плоскость ΔАВС

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Рассмотрим аксонометрическую модель. Плоскость ΔАВС является

проецирующей по отношению к плоскости П2, т.к. горизонталь h, лежащая в плоскости ΔАВС перпендикулярна П2

h


∆ АВС

h ┴ П2 → ∆ АВС ┴ П2

h1

Слайд 30

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1 Чтобы определить угол

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1

Чтобы определить угол

наклона
плоскости общего положения к
плоскости проекций П1, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую по отношению к П2.
Слайд 31

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1 Задаем в плоскости

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1

Задаем в плоскости ΔАВС

горизонталь на любой высоте, например через
(.) А. h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)
Слайд 32

Вместо П2 ставим новую стену П4 h ┴ П4 → На чертеже: h1 ┴ Х1,4 h1

Вместо П2 ставим новую стену П4
h ┴ П4 →
На

чертеже:
h1 ┴ Х1,4

h1

Слайд 33

С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты ZА, Zв, Zс) и

С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты ZА, Zв, Zс) и

откладываем их от оси Х1,4 на П4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х1,4.

h1

Слайд 34

Плоскость ΔАВС проецируется на П4 в линию А4В4С4 Угол α –

Плоскость ΔАВС проецируется на П4 в линию А4В4С4
Угол α – угол

наклона плоскости ΔАВС к плоскости П1
Слайд 35

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П2 Чтобы определить угол

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П2

Чтобы определить угол наклона
плоскости

общего положения к
плоскости проекций П2, необходимо
преобразовать эту плоскость в
проецирующую по отношению к П1.
Слайд 36

Задаем в плоскости ΔАВС фронталь на любом расстоянии от П2, например

Задаем в плоскости ΔАВС фронталь на любом расстоянии от П2,
например через

(.) С. f1 ‖ Х1,2 → f2 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)С и (.)1)
Слайд 37

Вместо П1 ставим новую плоскость П4 , которую располагаем перпендикулярно к

Вместо П1 ставим новую плоскость П4 , которую располагаем перпендикулярно к

фронтали
f ┴ П4 →
На чертеже:
f2 ┴ Х2,4
Слайд 38

С П1 забираем координаты удаления точек А,В,С от стены П2 (координаты

С П1 забираем координаты удаления точек А,В,С от стены П2 (координаты

УА, Ув, Ус) и откладываем их от оси Х2,4 на П4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х2,4.
Слайд 39

Плоскость ΔАВС проецируется на П4 в линию А4В4С4 Угол β –

Плоскость ΔАВС проецируется на П4 в линию А4В4С4
Угол β – угол

наклона плоскости ΔАВС к плоскости П2
Слайд 40

Определение расстояния от точки до плоскости Задача 6.3. (стр.31) Определить расстояние

Определение расстояния от точки до плоскости

Задача 6.3. (стр.31)
Определить расстояние

от точки А до плоскости ΔDBC методом замены плоскостей проекций.
Решение: Кратчайшее расстояние
от точки до плоскости – перпендикуляр, опущенный из точки А к плоскости ΔDBC . Сразу провести проекции перпендикуляра не сможем, т.к. он является прямой общего положения и деформируется (как и угол 90°) при проецировании. Но, если плоскость ΔDBC преобразовать в проецирующую, то перпендикуляр из точки А на плоскость деформироваться не будет.
Слайд 41

Выбираем главный элемент-плоскость и решаем 3 типовую задачу Задаем в плоскости

Выбираем главный элемент-плоскость и решаем 3 типовую задачу

Задаем в плоскости линию

уровня, например горизонталь h.
h2 ‖ Х1,2 → h1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)D и (.)1)
Слайд 42

. Заменим плоскость П2 на новую П4, перпендикулярную к горизонтали h

.
Заменим плоскость П2 на новую П4, перпендикулярную к горизонтали
h ┴

П4 →
h1 ┴ Х1,4
Построим проекции всех точек на П4 (линии связи проводим перпендикулярно новой оси Х1,4
Слайд 43

Забираем высоты точек с плоскости П2 (координаты Z) и откладываем на

Забираем высоты точек с плоскости П2 (координаты Z) и откладываем на

плоскости П4 по линиям связи соответствую-щих точек от оси Х1,4.
Получаем проекции ΔD4B4C4 (проецируется в линию) и (.)А4
Слайд 44

Из точки А опускаем перпендикуляр к плоскости треугольника ΔDBC (А4О4┴ ΔD4B4C4)

Из точки А опускаем перпендикуляр к плоскости треугольника ΔDBC (А4О4┴ ΔD4B4C4)

[

АО ] – расстояние от точки до
плоскости. А4О4=н.в.

4

О4

Слайд 45

Операцию по замене плоскости П2 на П4 мы сделали для облегчения

Операцию по замене плоскости П2 на П4 мы сделали для облегчения

решения задачи. Необходимо показать, как выглядит расстояние в исходных проекциях (на П1 и П2).
Т.к. на плоскость П4 отрезок [АО] проецируется в натуральную величину, значит он параллелен этой плоскости. Следовательно на П1 его проекция отразится параллельно оси Х1,4

4

О4

Слайд 46

4 Определим проекции [АО] на П1 и П2: А1О1‖Х1,4 ; По

4

Определим проекции [АО] на П1 и П2: А1О1‖Х1,4 ;
По линии

связи с О4 определяем положение проекции О1

4

Слайд 47

4 Определим проекции [АО] на П2: находим проекцию О2→высота точки О

4

Определим проекции [АО] на П2:
находим проекцию О2→высота точки О на

П4 и П2 одинакова (размер координаты выделен желтым цветом)

4

О4

Слайд 48

Соединяем фронтальные проекции точек О2 и А2 – получим проекцию расстояния

Соединяем фронтальные проекции точек О2 и А2 – получим проекцию расстояния

от точки до плоскости треугольника на П2 (О2А2)

4

Слайд 49

Определение натуральной величины плоской фигуры (задача 6.2 стр.31) Плоскость проецируется в

Определение натуральной величины плоской фигуры (задача 6.2 стр.31)

Плоскость проецируется в натуральную

величину, если она расположена параллельно плоскости проекций. Следовательно, выполняем 4 типовую задачу. Главный элемент- плоскость
Слайд 50

1) Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую. Задаем в плоскости линию

1) Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую.

Задаем в плоскости линию

уровня, например горизонталь на любой высоте, например через
(.) А. h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)
Слайд 51

Вместо П2 ставим новую стену П4 h ┴ П4 → На чертеже: h1 ┴ Х1,4

Вместо П2 ставим новую стену П4
h ┴ П4 →
На

чертеже:
h1 ┴ Х1,4
Слайд 52

С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты ZА, Zв, Zс) и

С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты
ZА, Zв, Zс) и

откладываем их от оси Х1,4 на П4 по соответствую-щим линиям связи, перпендикуляр-но оси Х1,4. Получаем проекции А4,В4,С4
Слайд 53

Плоскость Δ АВС проецируется на П4 в линию А4В4С4

Плоскость
Δ АВС проецируется на П4 в линию А4В4С4

Слайд 54

2) Плоскость П1 заменяем на П5, параллельную плоскости Δ АВС П1→П5‖

2) Плоскость П1 заменяем на П5, параллельную плоскости Δ АВС

П1→П5‖ Δ

АВС
На чертеже:
Х4,5‖ А4В4С4
Слайд 55

Строим проекцию Δ АВС на П5. Проводим линии связи, перпендикулярно оси Х4,5

Строим проекцию Δ АВС на П5. Проводим линии связи, перпендикулярно оси

Х4,5
Слайд 56

Отбрасывая плоскость П1, забираем с нее информацию: удаление точек от стены

Отбрасывая плоскость П1, забираем с нее информацию: удаление точек от стены

(координаты точек УА,Ув,Ус) – выделены желтым цветом- и откладываем на плоскости П5 по линиям связи от оси Х4,5
Слайд 57

Соединяем проекции А5В5С5 – получаем натуральную величину Δ АВС

Соединяем проекции А5В5С5 – получаем натуральную величину Δ АВС

Слайд 58

Задача 6.5 стр.32 Построить проекции прямой призмы высотой 20 мм с основанием АВС

Задача 6.5 стр.32

Построить проекции прямой призмы высотой 20 мм с основанием

АВС
Слайд 59

Главный элемент- плоскость. Необходимо выполнить 3 типовую задачу: преобразовать плоскость общего

Главный элемент- плоскость. Необходимо выполнить 3 типовую задачу: преобразовать плоскость общего

положения в проецирующую

Решение:
Зададим в плоскости линию уровня, например – горизонталь
h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)

Слайд 60

2) Вместо П2 возьмем плоскость П4, перпендикулярную к горизонтали На чертеже новая ось Х1,4┴h1

2) Вместо П2 возьмем плоскость П4, перпендикулярную к горизонтали

На чертеже новая

ось Х1,4┴h1
Слайд 61

Строим проекции точек АВС на П4. Забираем высоты точек АВС с П2 и откладываем на П4

Строим проекции точек АВС на П4. Забираем высоты точек АВС с

П2 и откладываем на П4
Слайд 62

Соединяем проекции точек А4В4С4. Плоскость треугольника проецируется в линию на П4

Соединяем проекции точек А4В4С4. Плоскость треугольника проецируется в линию на П4

Слайд 63

Т.к. призма прямая, ребра располагаются перпендикулярно основанию и проецируются на П4

Т.к. призма прямая, ребра располагаются перпендикулярно основанию и проецируются на П4

в натуральную величину

Откладываем н.в. ребер =20 мм

Слайд 64

А4*В4*С4*- верхнее основание призмы в проекции на П4

А4*В4*С4*- верхнее основание призмы в проекции на П4

Слайд 65

Необходимо показать, как выглядит призма на плоскостях П1 и П2. Т.к.

Необходимо показать, как выглядит призма на плоскостях П1 и П2. Т.к.

на П4 проекция ребра С4С4*-натуральная величина, следовательно оно расположено параллельно к П4, на П1 проецируется параллельно оси Х1,4

С1С1*‖ Х1,4

Слайд 66

Т.к. ребра параллельны и равны между собой, строим А1А1* ‖ В1В1*

Т.к. ребра параллельны и равны между собой, строим А1А1* ‖ В1В1*

‖ С1С1* и А1А1* = В1В1* = С1С1* (выделены желтым цветом)


Слайд 67

Для построения проекций ребер на П2 рассмотрим ребро ВВ*. Через проекцию

Для построения проекций ребер на П2 рассмотрим ребро ВВ*. Через проекцию

(.)В1* проведем линию связи и с П4 заберем размер высоты точки В* над плоскостью П1 (Zв*)

Отложим данный размер на плоскости П2 на линии связи с (.)В1* от оси Х1,2
Получим проекцию точки В на П2- В2*

Слайд 68

На П2 проекции А2А2* ‖ В2В2* ‖ С2С2* и А2А2* = В2В2* = С2С2*

На П2 проекции А2А2* ‖ В2В2* ‖ С2С2* и А2А2* =

В2В2* = С2С2*
Слайд 69

Завершаем построение верхнего основания призмы на П1 и П2

Завершаем построение верхнего основания призмы на П1 и П2

Слайд 70

Определяем видимость на П1. Рассмотрим накладку проекций А1В1 и А1*С1* (21≡31).

Определяем видимость на П1. Рассмотрим накладку проекций А1В1 и А1*С1* (21≡31).

Какая из прямых располагается выше над плоскостью П1? На другой плоскости П2 видно, что (.)22 выше

Вывод:
Видима прямая А*С*

Слайд 71

Следовательно, когда смотрим на плоскость П1, видим верхнее основание А*В*С*

Следовательно, когда смотрим на плоскость П1, видим верхнее основание А*В*С*

Слайд 72

Определяем видимость на П2. Рассмотрим накладку проекций А2С2 и В2*С2* (42≡52).

Определяем видимость на П2. Рассмотрим накладку проекций А2С2 и В2*С2* (42≡52).

Какая из прямых располагается дальше от стены П2 ? Восстанавливаем линию связи и видим, что на плоскости П1 дальше располагается (.)41, лежащая на В1*С1*

Вывод: На П2 видима В*С*

Слайд 73

Следовательно, когда смотрим на плоскость П2, видим верхнее основание А*В*С*

Следовательно, когда смотрим на плоскость П2, видим верхнее основание А*В*С*