Динамика. Динамика точки и механической системы

Сила – векторная мера взаимодействия тел.

В динамике силы – переменные.

Силы могут зависеть от:
времени
положения тела
скорости

Масса – мера инертности тела. Она зависит от количества вещества и считается величиной постоянной.

Точка, на которую не действуют никакие силы со стороны других тел, называется изолированной.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета.

Первая задача динамики точки решается дифференцированием закона движения точки.

В обратной задаче динамики решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения.

Первый интеграл дает закон изменения скорости.
Второй интеграл – закон движения.

При решении второй задачи динамики надо задавать так называемые начальные условия

Классификация сил, действующих на мех-ую систему:

силы активные и реакции связей;

силы внешние и внутренние.

Внутренние силы

силы взаимодействия между точками одной и той же системы.

2) Главный момент внутренних сил равен нулю относительно любого центра и любой оси

Центром масс механической системы называется точка, радиус-вектор которой определяется выражением:

Координаты центра масс:

Центр масс характеризует распределение масс в системе.

Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина i определяемая равенством

Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.

Таблица 1

Общие теоремы динамики

Количество движения является мерой механического движения.
Вектор количества движения имеет направление скорости и приложен к точке.

Количество движения механической системы – вектор, численно равный главному вектору количеств движения всех точек системы

Направлен элементарный импульс по линии действия силы.

Полный импульс силы определяют как интеграл за время действия силы:

.

Импульс силы за любой промежуток времени τ равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от 0 до τ.

Главный вектор внутренних сил равен нулю по свойству внутренних сил.

2. Интегральная форма. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему

Векторная сумма всех импульсов внутренних сил равна нулю, так как главный вектор внутренних сил равен нулю по свойству внутренних сил.

1. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению:

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось (например, на ось x) равна нулю, то проекция вектора количества движения системы на эту же ось постоянна:

Внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Дифференциальное уравнение движения твердого тела в векторной форме имеет вид:

т.к.

, то

где

– масса системы,

– главный вектор внешних сил.

Модуль вектора

:

где h – плечо

Момент количества движения материальной точки относительно оси является скалярной величиной.

Для абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, кинетический момент тела относительно этой оси равен:

-

осевой момент инерции

1. Если главный момент всех внешних сил системы относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра постоянен:

2. Если главный момент всех внешних сил системы относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси постоянен:

, где

Тогда это уравнение имеет вид:

При вращательном движении осевой момент инерции является мерой инертности (при поступательном движении мерой инертности является масса).

Кинетическая энергия механической системы определяется как алгебраическая сумма кинетических энергий всех точек, образующих эту систему:

9. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

3) Плоское движение –

Кинетическая энергия тела равна нулю, если тело покоится.

Работа постоянной силы (F=const)

А>0, если

(острый угол)

А=0, если

(прямой угол)

А<0, если

(тупой угол)

Работа отрицательна, когда сила замедляет движение

где H – величина вертикального перемещения.
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории движения точки или тела.

Работа силы упругости –

– начальная деформация пружины,

– конечная деформация пружины.

Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, т.е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению ее точки приложения, и положительна, когда деформация уменьшается.

–

Работа пары сил с моментом, зависящим от угла поворота –