Кинематика твердого тела. Плоское движение. Определение ускорений точек

Определение ускорений точек плоской фигуры
Этот вывод основывается на положении о том, что плоское движение раскладывается на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное движение вокруг полюса.

(1)

будет направлен ⊥ к отрезку МА в сторону ε.

будет направлен к полюсу А, а аМАτ = ε · МА и вектор

где аМАn= ω 2 · АМ и вектор

Тогда (1) примет вид:

Ускорение

(2)

(3)

Проектируя векторное равенство (3) на оси координат, получим:
Вычисляя правые части в выражениях (4) найдем проекции вектора полного ускорения на оси координат, тогда его модуль и направление определиться по формулам:

Модули и направления ускорений:

аМх = аАхn + аАхτ + аМАхn + аМАх τ,

аМz = аАzn + аАzτ + аМАzn + аМАzτ.

аМу= аАуn + аАхτ + аМАуn + аМАу τ,

(4)

Пример определения ускорений точек плоской фигуры

Решение

1. Определим положение диска и точки М в момент времени t1.

Координаты точки С: хС1 = 2 · 1= 2; уС 1= - 12 +1 = 0. Положение точки М определяется углом ϕ1 = π · 12/4 = π /4 = 450.

Определить ускорение точки М диска в момент времени t1=1 c.

2. Выберем полюс и применим метод проекций.

Или в проекциях на оси координат
аМх = аСх + аМСхn + аМСх τ,
аМу= аСу + аМСуn + аМСу τ.

(1)

3. Определим величины, входящие в правые части равенств (1).
(2)

Величину аМСn найдем по формуле аМСn = ω 2 · СМ =
· СМ = π t 2/4|t=1= π /4.

/8 = - 0,56,

Вектор

Проекции на оси вектора

аМСхn =- аМСn · cos 450 = -π

аМСуn = - аМСn · cos 450 = - 0,56.

(3)

Величину аМС τ найдем по формуле аМС τ = ε ·СМ =

· СМ = π /2.

Вектор

будет направлен по касательной, т. е. ⊥ отрезку СМ.

Проекции на оси вектора

аМСх τ = аМС τ · cos 450 = π ·

/ 4 = 1,11,

аМСу τ = - аМС τ · cos 450 = - 1,11.

(4)

Подставляя значения (2) – (4) в выражения (1), получим

аМх = 0 – 0,56 + 1,11 = 0,55,
аМу= - 2 - 0,56 - 1,11 = - 3,67.