Общие теоремы динамики точки

Цель лекции

Цель лекции

Ознакомиться с общими теоремами динамики материальной точки и

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Введение

теоремы об изменении …
импульса
момента импульса
кинетической энергии

Зачем нам нужны

ИМПУЛЬС ТОЧКИ

Теорема об изменении импульса

Импульс (количество движения) точки - вектор, равный

ИМПУЛЬС СИЛЫ

Теорема об изменении импульса

Элементарным импульсом силы называется вектор, равный

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА

Теорема об изменении импульса

Изменение импульса материальной точки

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Теорема об изменении импульса

Запишем дифф. уравнение движения точки

Учитывая

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Теорема об изменении импульса

Пусть

В этом случае

Если

ПРИМЕР

Теорема об изменении импульса

?

Определить время движения точки до остановки

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТОЧКИ

Момент импульса
(момент количества движения) точки -вектор, определяемый

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТОЧКИ

Теорема об изменении момента импульса

O

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Производная по времени от момента импульса материальной

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Теорема об изменении момента импульса

Запишем теорему об изменении
импульса точки

ПРОЕКЦИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Теорема об изменении момента импульса

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Теорема об изменении момента импульса

Пусть

В этом

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

Действующую на материальную точку точку силу называют

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

?

Как изменяется модуль скорости планеты при движении по эллиптической траектории

Теорема

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Теорема об изменении момента импульса

Определим
закон изменения
площади сектора .

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Теорема об изменении момента импульса

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Теорема об изменении момента импульса

Каждая планета движется в плоскости, проходящей

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Теорема об изменении момента импульса

Иоганн Кеплер (1571 - 1630)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТОЧКИ-

Теорема об изменении энергии

скалярная величина, равная половине произведения

РАБОТА СИЛЫ

Теорема об изменении энергии

траектория точки –
прямая

РАБОТА СИЛЫ

Теорема об изменении энергии

РАБОТА СИЛЫ

Теорема об изменении энергии

Элементарная работа силы –
величина, равная скалярному

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ЭНЕРГИИ

Теорема об изменении энергии

Изменение кинетической энергии точки на

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Теорема об изменении энергии

Запишем дифф. уравнение движения точки

Спроектируем его на

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Теорема об изменении энергии

Умножим обе части уравнения на элементарное перемещение и

ПРИМЕР

Теорема об изменении энергии

Бусинка двигается по проволоке, изогнутой в форме полуокружности.

ПРИМЕР

Теорема об изменении энергии

Будем считать бусинку материальной точкой

Изобразим силы, действующие

ПРИМЕР

Теорема об изменении энергии

Запишем теорему об изменении кинетической энергии

ПРИМЕР

Теорема об изменении энергии

Согласно теореме

Замечание

Можно ли получить этот результат более простым

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ

Градиентом называется вектор с компонентами

Сила называется потенциальной (консервативной),

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ

Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории точки

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПРИМЕР

Попробуем построить потенциал для силы тяжести

Теорема об изменении энергии

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Замечание
Потенциал определяется с точностью до некоторой не зависящей от

ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Теорема об изменении импульса

Для точки, находящейся под действием потенциальной

РАБОТА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ

Теорема об изменении энергии

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Заключение
Какие из уравнений динамики точки записываются в виде векторных

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Заключение

Как происходит движение материальной точки под действием центральной силы?