Основы теплообмена

тепловым потоком и распределением температур в средах. Совокупность мгновенных значений любой величины во всех точках данной среды (тела) называется полем этой величины. Соответственно совокупность значений температур в данный момент времени для всех точек рассматриваемой среды называется температурным полем.
В наиболее общем случае температура в данной точке t зависит от координат точки (x, y, z) и изменяется во времени τ, т.е. температурное поле выражается функцией вида: t = f(x, y, z, τ) – уравнение неустановившегося (нестационарного) температурного поля.
Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле будет стационарным
t = f(x, y, z); dz/dτ = 0
Температура в теле может изменяться в направлении одной, двух и трёх координатных осей. В соответствии с этим температурное поле может быть одно-, двух- и трёхмерным.
Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длина и ширина бесконечно велики по сравнению с толщиной. Для этого случая уравнение температурного поля для режима
нестационарного: t = f(x, τ); dt/dy = dt/dz = 0
стационарного: t = f(x); dz/dτ = 0 и dt/dy = dt/dz = 0

одинаковой температурой. Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим изотермические поверхности, которые между собой никогда не пересекаются. Они либо замыкаются на себя, либо кончаются на границах тела. Следовательно, температура в теле изменяется лишь в направлении, пересекающем изотермы.
Пусть разность температур между двумя близлежащими изотермическими поверхностями составляет Δt. Кратчайшим расстоянием между этими поверхностями является расстояние по нормали Δn. При сближении указанных поверхностей отклонение Δt/Δn стремится к пределу
Производная температура по нормали к изотермической поверхности называется температурным градиентом. Этот градиент является вектором, направление которого соответствует повышению температуры. Перемещение тепла происходит по линии температурного градиента, но направлено в сторону, противоположную этому градиенту: q ~ (dt/dn)

в различных точках тела. Связь между количеством теплоты dQ, проходящим через элементарную площадку df, расположенную на изотермической поверхности, за промежуток времени dτ, и температурным градиентом определяется уравнением, которое носит название основного закона теплопроводности, или законом Фурье.
dQ = - λ⋅dF⋅dτ⋅(dt/dn), Дж/ккал (1)
Знак минус показывает, что в направлении теплового потока температура убывает.
- коэффициент теплопроводности. Он характеризует собой способность вещества проводить тепло. Размерность λ находится из уравнения (1)
dQ dn Дж ⋅ м Вт
[λ] = [−−−−−−−] = [−−−−−−−−−−−] = [−−−−−−−],
  df dτ dt м2 ⋅ с ⋅ град м⋅ град
При выражении Q в ккал/ч
ккал ккал Вт
[λ] = [−−−−−−−], причём 1 [−−−−−−−−] = 1,16 [−−−−−−],
  м ⋅ ч ⋅ К м ⋅ ч ⋅ К м ⋅ К
Теплопроводность твёрдых тел является линейной функцией температуры: λ = λо(1 + bt),
где λ - теплопроводность при данной температуре, (t, oC), λo – теплопроводность при 0oC, b – const для данного материала. Для большинства жидкостей с увеличением температуры значение λ уменьшается (давление не влияет). Теплопроводность газов возрастает с повышением температуры и мало зависит от давления. Зависимость λ газов от температуры устанавливается формулой: λ = λо ⋅ (273 + С)\(Т + С) ⋅ (Т\273)3/2, где T – абсолютная температура, C – опытная const, λо – теплопроводность при 0oC

тел простой конфигурации – пластина, трубы. В общем случае это распределение можно получить лишь в результате решения специального дифференциального уравнения теплопроводности. Это уравнение выводится на основе закона сохранения энергии с привлечением метода математической физики. Без вывода:
где а = λ/сρ, называется коэффициентом температуропроводности, м2/сек, равная отношению коэффициента теплопроводности к объёмной удельной теплоёмкости вещества и является мерой быстроты выравнивания температурного поля. Он характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагревается или охлаждается то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Уравнение (2), описывающее пространственное и временное изменение температуры, относится к неустановившимся процессам теплопроводности. Для установившихся процессов dθ/dτ = 0, и уравнение теплопроводности принимает тогда более простой вид:
Уравнения (2) и (3) предполагают одновременное изменение температур тела по направлениям всех трёх осей координат, поэтому их часто называют уравнениями трёхмерных температурных полей.

(2)

(3)

изменяется только в направлении оси х. Температура на наружных поверхностях поддерживается постоянной (tст1 и tст2). Внутренние источники тепла отсутствуют.
При этих условиях количество теплоты, которое передаётся теплопроводностью через поверхность стенки f за время τ, согласно закону Фурье: dQ = - λ⋅dF⋅dτ⋅(dt/dn) (1)
На основании дифференциального уравнения теплопроводности распределение температур только вдоль оси x представится в виде:

Интегрирование этого уравнения приводит к функции t = C1x + C2 (5),
где C1 и C2 - константы интегрирования.
Уравнение (5) показывает, что по толщине плоской стенки температура изменяется прямолинейно. Константы интегрирования можно определить, приняв соответствующие граничные условия:
если х = 0, то t = tст1 и уравнение (5) примет вид: tст1 = C2
Если х = δ, то t = tст2 и tст2 = C1δ + C2 или tст2 = C1δ + tст1
откуда

(4)

уравнение (5), получим

Расчётная формула теплопроводности для установившегося теплового потока через многослойную плоскую стенку выводится из уравнения теплопроводности для отдельных слоёв. В общем виде уравнение имеет вид:

откуда

Подставив найденное значение температурного градиента в уравнение теплопроводности (1), получим

или

d1 и внешним диаметром d2. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ. Внутренняя температура t1 и внешняя t2 поддерживаются постоянными, причём t1 > t2.

Обозначим:

Температура изменяется только в радиальном направлении. Выделим в стенке кольцевой слой с радиусом r и толщиной dr. Согласно закону Фурье, количество тепла, проходящего через такой слой, равно
Q = - λ⋅F⋅τ⋅(dt/dr) = - λ⋅2πrL⋅(dt/dr) (6)
Разделив переменные, получим
dt = - Q/(2πLλ) ⋅ dr/r (7)

Интегрируя уравнение (7) в пределах tст1 до tст2 и r1 и r2, получим
t1 - t2 = Q/(2πLλ) ⋅ lnr2/r1
Откуда
Q = 2πL (tст1 – tст2)/(1/λ ⋅ lnd2/d1) (8)
Выражение (8) является уравнением теплопроводности однородной цилиндрической стенки для установившегося теплового потока.