Охлаждение, нагревание тел конечных размеров. Нагрев параллелепипеда

Нагрев параллелепипеда

Заготовка (параллелепипед) с размерами
помещена в среду, имеющую температуру

Нагрев параллелепипеда

Расчетная схема

Нагрев параллелепипеда

Дифференциальное уравнение температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты имеет

Начальные условия

Считаем, что в начале процесса температура в заготовке распределена равномерно,

Граничные условия

Из условий геометрической и тепловой симметрии следует:
(3)

Граничные условия

Теплообмен на поверхности заготовки подчиняется закону Ньютона-Рихмана:
(6)

Решение

Решение системы (1)-(8) в безразмерном виде можно представить как произведение трех

Температура
где

Температура
Следовательно:

Температура

Решение задачи о равномерном нагреве пластины известно:

Характеристические уравнения

Значения определятся из характеристических уравнений:

Температура

Решение задачи можно выразить через безразмерные величины:

Безразмерные величины

где:

Средняя температура

Средняя температура заготовки (параллелепипеда) определяется также как произведение трех температур

Средняя температура

где:

Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Пусть стержень имеет ограниченные размеры в направлении осей

Охлаждение длинного прямоугольного стержня
.

Дифференциальное уравнение температурного поля при отсутствии внутренних источников

.

Начальные условия

Считаем, что в начале процесса температура в стержне распределена равномерно,

.
.

Граничные условия

Из условий геометрической и тепловой симметрии следует:
(3)
(4)

.
.

Граничные условия

Теплообмен на поверхности стержня подчиняется закону Ньютона-Рихмана:
(5)
(6)

.
.

Температура
где

.
.

Температура
Следовательно:

.
.

Температура

Решение задачи о равномерном нагреве стержня известно:

.
.

Характеристические уравнения

Значения определятся из характеристических уравнений:

.
.

Температура

Решение задачи можно выразить через безразмерные величины:

.
.

Безразмерные величины

где:

.
.

Средняя температура

Средняя температура стержня определяется также как произведение трех температур для

.
.

Средняя температура

где:

.
.

Охлаждение цилиндра конечной длины

Пусть внутри источник теплоты отсутствует:
Пусть
Тогда дифференциальное уравнение

.
.

Охлаждение цилиндра конечной длины

Избыточная температура:
Тогда:

.
.

Условия однозначности

Охлаждение цилиндра конечной длины

Ограниченный цилиндр можно представить как результат пересечения бесконечного

Охлаждение цилиндра конечной длины

Температура:

Охлаждение цилиндра конечной длины

Характеристические уравнения:

Охлаждение цилиндра конечной длины

Температура:

.
.

Температура

Решение задачи можно выразить через безразмерные величины:

.
.

Безразмерные величины

где:

Средняя температура

Средняя температура цилиндра конечных размеров определяется также как произведение двух