Переходные процессы в линейных электрических цепях

к другому, при котором энергия электрического и магнитного полей и
обуславливающие их величины – напряжение и ток изменяются, называются
переходными.
Процесс перехода от одного установившегося состояния к другому протекает
не мгновенно (скачком), а постепенно, так как если предположить, что энергия
изменится мгновенно за время t = 0, то мощность, необходимая для этого
Р = dw / dt = w / 0 = ∞, оказалась бы равной бесконечности, чего в природе не
существует.

Общие вопросы и законы коммутации

скачком.
Второй закон коммутации: напряжение на зажимах конденсатора не может изменяться скачком.

В электрических цепях, содержащих R, L, C, переходной процесс возникает при
включении, выключении и изменении параметров цепи. Такой процесс
называют коммутацией. После коммутации изменяется энергия индуктивного
измениться не может, следовательно, ток в индуктивности и напряжение на
конденсаторе не могут изменяться мгновенно. Из этого вытекают первый и
второй законы коммутации.

емкостного

и

элементов. Так как энергия скачком

энергетического состояния электрической цепи требуется
некоторое время (до нескольких секунд). Однако в это время напряжения и ток
достигают больших значений, иногда опасных для электроустановок.
Для определения токов и напряжений в переходных режимах применяют
классический метод, основанный на составлении линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с помощью законов Кирхгофа.
Так, режим цепи синусоидального тока при последовательном соединении R, L,
C и напряжении источника питания u = Umахsinωt описываются уравнением
Ri + Ldi/dt + 1/C∫idt = Umахsinωt.

ищут в виде
i = i′ + i″, где
i′ (установившейся ток) − частное решение данного неоднородного уравнения;
i″ (свободный ток) − общее решение однородного дифференциального
уравнения.
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения позволяет
определить:
ток в цепи в переходном режиме
i = i′ + i″,
или напряжение на элементах цепи
u = u′ + u″.

uR, uL,
если известны U, R, L. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа и
запишем решение:
Ldi/dt + Ri = U

Ток в установившемся режиме i′ = U/R.
Свободный ток i″ находят, решая однородное дифференциальное уравнение
Ldi″/dt + Ri″ = 0
Решение этого уравнения ищут в виде i″ = Aept, где р – корень характеристического
уравнения Lp + R = 0. Таким образом, p = −R / L, а ток в переходном режиме
i = U/R + Aе−Rt/L = U/R + Aе−t/ τ

где τ = L / R – постоянная времени цепи.

Подключение катушки индуктивности с R, L к сети с постоянным

напряжением

+

_

и L при включении цепи на постоянное напряжение

Изменение напряжения на резисторе и индуктивной
катушке при включении цепи на постоянное напряжение

Напряжение на резисторе
uR = Ri = U – Ue – t/τ = U(1 – e – t/τ) изменяется так же, как ток, а напряжение на индуктивности изменяется следующим образом:
uL = Ldi/dt = LUe – t/τ / (RL/R) = Ue – t/τ

Из начальных условий с учетом первого закона коммутации определяем постоянную интегрирования А: при t = 0 ток в цепи равен нулю.
Получаем А= −U/R. Тогда:
i = U/R – (U/R)e −t/τ = I (1 – e − t/τ)

можно записать
Ri + uC = U.

Ток в цепи
i = CduC/dt
Подставляя выражение в предыдущую формулу, получим
RCduC/dt + uC = U.
Тогда напряжение на конденсаторе
uC = uC′ + uC″.

Переходные процессы при заряде и разряде конденсатора

+ u″С = 0,
которому соответствует характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда,
p = –1/(RC).
Следовательно, свободное напряжение на конденсаторе

где = RC

Cdu′C / dt,
i″ = Cdu″C / dt = –
Постоянную интегрирования А находят с учетом второго закона коммутации из
начальных условий работы цепи, которые различны для процессов заряда и
разряда конденсатора.

'

'

'

+

= U(1 – e ‑t/τ)
Установившийся ток в цепи i′ = 0, а A = – U, тогда
i = (U/R)e –t/τ

конденсатор начнет разряжаться на резистор R. Принимая u′C = 0
и находя из начальных условий uc (при t = 0, uC = UC), а постоянная интегрирования
A = UC получим, что напряжение на конденсаторе равно
uC = UCe‑t/τ, а ток
с учетом, что i′ = 0,
i = − (U/R) е−t/τ.

Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора