Потенциальная энергия

Сентябрь 13, 2022

Главная
Физика
Потенциальная энергия

Содержание

2. Лекция 7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 7.1. Потенциальная энергия. 7.2.Работа постоянной силы. 7.3. Работа переменной силы. 7.4. Работа
3. 7.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером
6. Рис. 7.1
8. Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами: 1) Как силы, работа которых не зависит от
9. Рис. 7.2 Учитывая выражение для упругой силы (k - жесткость), получим: (7.2) График этой силы изображен
10. Работа внешней силы на участке пути численно равна площади заштрихованной трапеции: (7.3)
12. Рис. 7.3
13. Из рисунка 23 видно, что проекция вектора l12 на направление равна разности высот следовательно выражение для
14. Если r1 = R (радиус Земли), r2 = R + h, m – масса тела, M
15. 7.4. Потенциальная энергия во внешнем поле сил Отметим, что поле консервативных сил является частным случаем потенциального
16. Для нестационарного силового поля, описываемого потенциалом П(x,y,z,t), отождествлять потенциальные и консервативные силы нельзя. Работа консервативных сил
17. Потенциальная энергия может быть определена исходя из (7.9) как , где С – постоянная интегрирования, т.е.
19. Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции U(x,y,z), вычисленную в предположении, что переменные y и z
21. Вектор, определяемый выражением (7.11) называется Градиентом Скаляра U. Для него наряду с обозначением применяется также обозначение
22. Пусть частица, на которую действует сила F = - , перемещается на ds, имеющий компоненты dx,
23. df(x,y,z) = f(x+dx,y+dy,z+dz) – f(x,y,z) и, следовательно, определяется лишь значениями функции в начальной и конечной точках.
24. Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового поля. Так, потенциальная энергия частицы в поле сил
25. Для неконсервативных сил это условие не выполняется. Типичным представителем неконсервативных сил является сила трения. Работа этой
26. Лекция 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 8.2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ
27. 8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
29. Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные, умножим каждое
31. При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 , т.е. изменение полной механической энергии системы
33. В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия не сохраняется.
38. Следовательно, если сила – функция только одной координаты, например абсциссы х, то , или . Но
40. В этом случае сила положительна, т.е. является силой отталкивания. Наконец, в точках минимума или максимума энергии,
43. Если частица при своем движении не может удаляться на бесконечность, движение называется финитным. Если же частица
44. Точка М – точка устойчивого равновесия. Условием устойчивого равновесия является минимальное значение потенциальной энергии . Точка
45. Лекция окончена!
47. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
7.1. Потенциальная энергия.
7.2.Работа постоянной силы.
7.3. Работа переменной силы.
7.4.

Работа во внешнем поле.

Слайд 3

7.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая

их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Так, например, частица у поверхности Земли находится в поле сил тяжести – в каждой точке пространства на нее действует сила .

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Рис. 7.1

Слайд 7

Слайд 8

Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами:
1) Как силы, работа

которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое.
2) Как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Слайд 9

Рис. 7.2
Учитывая выражение для упругой силы
(k - жесткость), получим:
(7.2)
График этой

силы изображен на рис.7.2.

7.1.1. РАБОТА УПРУГОЙ СИЛЫ

Слайд 10

Работа внешней силы на участке пути численно равна площади заштрихованной трапеции:

(7.3)

Слайд 11

Слайд 12

Рис. 7.3

Слайд 13

Из рисунка 23 видно, что проекция вектора l12 на направление равна

разности высот следовательно выражение для работы можно записать в виде:
(7.5)

Слайд 14

Если r1 = R (радиус Земли), r2 = R + h,

m – масса тела, M – масса Земли, то
Работа внешней силы имеет противоположный знак. Следовательно,
Если высота hТ.к. , то и тогда A=mgh, где h=h1-h2.

Слайд 15

7.4. Потенциальная энергия во внешнем поле сил
Отметим, что поле консервативных

сил является частным случаем потенциального силового поля. Поле сил называется потенциальным, если его можно описать с помощью функции П(x,y,z,t), градиент которой определяет силу в каждой точке поля: . Функция П называется потенциальной функцией или потенциалом. В случае, когда потенциал явно не зависит от времени, т.е. П=П(x,y,z), потенциальное поле оказывается стационарным, а его силы консервативными. В этом случае ,
где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы.

7.3. РАБОТА КУЛОНОВСКОЙ СИЛЫ
(САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!)

Слайд 16

Для нестационарного силового поля, описываемого потенциалом П(x,y,z,t), отождествлять потенциальные и консервативные

силы нельзя.

Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
(7.8)

Работа dA выражается как скалярное произведение силы на перемещение и выражение (7.8) можно записать в виде:
(7.9)

Слайд 17

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (7.9) как , где

С – постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Однако это обстоятельство не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений U в двух положениях тела, либо производная функции U по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-либо положении принимают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию в других положениях отсчитывают относительно этого уровня.

Слайд 18

Слайд 19

Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции U(x,y,z), вычисленную в предположении,

что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь переменная х. Подобные производные называются частными и обозначаются в отличии от производных функций одной переменной, символом .

Слайд 20

Слайд 21

Вектор, определяемый выражением (7.11) называется Градиентом Скаляра U.
Для него наряду с

обозначением применяется также обозначение ∇U («набла») обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:
(7.13)
Итак, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком (7.11). Из равенства (7.11) следует, что вектор градиента направлен против силы поля. А так как вектор силы указывает направление убывания потенциальной энергии (7.9), то градиент всегда направлен в сторону возрастания потенциальной энергии.

Слайд 22

Пусть частица, на которую действует сила F = - , перемещается

на ds, имеющий компоненты dx, dy, dz. При этом сила совершает работу dA = Fds = - -( ).
Приняв во внимание, что dA = - dU , получим для приращения функции U следующее выражение
Выражение вида 7.14 называется полным дифференциалом соответствующей функции.
Понятие полного дифференциала играет в физике большую роль. Полным дифференциалом однозначной функции f(x,y,z) называется приращение, которое получает эта функция при переходе от точки с координатами x, y, z в точку с координатами x+dx, y + dy, z+ dz. По определению это приращение равно

∇U

∇Uds =

(7.14)

Слайд 23

df(x,y,z) = f(x+dx,y+dy,z+dz) – f(x,y,z) и, следовательно, определяется лишь значениями функции

в начальной и конечной точках. Поэтому оно не может зависеть от пути, по которому происходит переход. Таким образом, полное приращение функции при переходе из начальной точки в конечную равно df (x,y,z) = . Мы пришли к выражению для полного дифференциала (ср. с 7.14) .
Из сказанного вытекает, что консервативными могут быть только силы, удовлетворяющие условию (7.14), т.е. такие силы, компоненты которых по координатным осям равны взятым с обратным знаком частным производным некоторой функции U(x,y,z) по соответствующим координатам. Эта функция представляет собой потенциальную энернию частицы.

Слайд 24

Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового поля. Так, потенциальная

энергия частицы в поле сил тяжести равна U = mgh, где h отсчитывается от произвольного уровня.
Начало отсчета потенциальной энергии можно выбрать произвольно. Поэтому U может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за нуль потенциальную энергию частицы, находящейся на поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубиной h/, будет равно U = mgh/.
Очевидно, что при перемещении по замкнутому контуру (см. рис.7.4) начальное и конечное положение тела совпадают и работа при этом равна нулю:
(7.14)
Линейный интеграл по замкнутому контуру, приведенный в левой части уравнения (7.14), называют циркуляцией вектора .
Тогда циркуляция вектора потенциальной силы по замкнутому контуру равна нулю.

Слайд 25

Для неконсервативных сил это условие не выполняется. Типичным представителем неконсервативных сил

является сила трения. Работа этой силы по замкнутой траектории не равна нулю. Часть работы, совершаемой при трении, превращается в тепло и рассеивается. Такие силы называют диссипативными.
Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия Е=Т+П.

Содержание

Слайд 26

Лекция 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
8.2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ

КРИВЫЕ И УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Слайд 27

8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Слайд 28

Слайд 29

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают

перемещения, соответственно равные, умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим (II). Сложив эти уравнения, получим:
(8.15)

Слайд 30

Слайд 31

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2
, т.е.

изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое, равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (8.16) следует, что , откуда
Е=Т+П=const, (8.18)
т.е. полная механическая энергия системы сохраняется. Выражение (8.18) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Слайд 32

Слайд 33

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения,

полная механическая энергия не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Содержание

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Следовательно, если сила – функция только одной координаты, например абсциссы х,

то ,
или .
Но на графике 8.6 , где α - угол наклона потенциальной кривой к оси абсцисс. Соответственно, точное значение силы получается лишь в пределе, когда перемещение Δх стремится к нулю:
(8.19)
Итак, в консервативных системах сила равна производной от потенциальной энергии по координате, взятой с противоположным знаком.

Слайд 39

Слайд 40

В этом случае сила положительна, т.е. является силой отталкивания. Наконец, в

точках минимума или максимума энергии, сила, очевидно, равна нулю, ибо в окрестностях этих точек она меняет знак. На границах касательная к потенциальной кривой в этих точках параллельна оси абсцисс. В соответствии с (8.19) в точках М и N сила равна нулю, следовательно -
условие равновесия. Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно сделать ряд заключений о характере движения частицы. Поясним это, воспользовавшись графиком на рис.8.8.

Слайд 41

Слайд 42

Слайд 43

Если частица при своем движении не может удаляться на бесконечность, движение

называется финитным. Если же частица может уходить сколь угодно далеко, движение называется инфинитным. Частица в потенциальной яме совершает финитное движение. Финитным будет также движение частицы с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения (предполагается, что потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности).

Слайд 44

Точка М – точка устойчивого равновесия. Условием устойчивого равновесия является минимальное

значение потенциальной энергии .
Точка N – точка неустойчивого равновесия. Условием неустойчивого равновесия является минимальное значение потенциальной энергии .

Слайд 45

Потенциальная энергия

Содержание

Лекция 7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ7.1. Потенциальная энергия.7.2.Работа постоянной силы.7.3. Работа переменной силы.7.4.

7.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая

Рис. 7.1

Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами:1) Как силы, работа

Рис. 7.2 Учитывая выражение для упругой силы(k - жесткость), получим:(7.2)График этой

Работа внешней силы на участке пути численно равна площади заштрихованной трапеции:

Рис. 7.3

Из рисунка 23 видно, что проекция вектора l12 на направление равна

Если r1 = R (радиус Земли), r2 = R + h,

7.4. Потенциальная энергия во внешнем поле силОтметим, что поле консервативных

Для нестационарного силового поля, описываемого потенциалом П(x,y,z,t), отождествлять потенциальные и консервативные

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (7.9) как , где

Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции U(x,y,z), вычисленную в предположении,

Вектор, определяемый выражением (7.11) называется Градиентом Скаляра U.Для него наряду с

Пусть частица, на которую действует сила F = - , перемещается

df(x,y,z) = f(x+dx,y+dy,z+dz) – f(x,y,z) и, следовательно, определяется лишь значениями функции

Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового поля. Так, потенциальная

Для неконсервативных сил это условие не выполняется. Типичным представителем неконсервативных сил

Лекция 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ8.2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ

8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 , т.е.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения,

Следовательно, если сила – функция только одной координаты, например абсциссы х,

В этом случае сила положительна, т.е. является силой отталкивания. Наконец, в

Если частица при своем движении не может удаляться на бесконечность, движение

Точка М – точка устойчивого равновесия. Условием устойчивого равновесия является минимальное

Лекция окончена!

Похожие презентации

Лекция 7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
7.1. Потенциальная энергия.
7.2.Работа постоянной силы.
7.3. Работа переменной силы.
7.4.

7.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая

Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами:
1) Как силы, работа

Рис. 7.2
Учитывая выражение для упругой силы
(k - жесткость), получим:
(7.2)
График этой

7.4. Потенциальная энергия во внешнем поле сил
Отметим, что поле консервативных

Вектор, определяемый выражением (7.11) называется Градиентом Скаляра U.
Для него наряду с

Лекция 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
8.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
8.2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2
, т.е.