Применение функций комплексного переменного

Август 22, 2022

Главная
Физика
Применение функций комплексного переменного

Содержание

2. Лекция 7 Плоское потенциальное движение
3. Применение функций комплексного переменного Как уже отмечали, для для плоских потенци-альных течений существуют функции, связан-ные соотношениями
4. Применение функций комплексного переменного В теории функций комплексного переменного доказывается, что если две функции φ(х,у) и
5. Применение функций комплексного переменного х Re z Im z у r z = x + iy
6. Применение функций комплексного переменного Плоскость течения рассматривается, как пло-скость комплексной переменной z = x + iy
7. Комплексное число также можно изображать радиус-вектором. Длина радиус-вектора, изоб- ражающего комплексное число , называется модулем комплексного
8. Применение функций комплексного переменного О комплексных числах Модуль любого ненулевого комплексного чис- ла есть положительное число.
9. Модуль произведения (частного) двух комп- лексных чисел равен произведению (частно- му) модулей каждого из чисел. Применение
10. Применение функций комплексного переменного Тригонометрической формой комплексного числа называется выражение Показательной формой комплексного числа называется выражение
11. Для того, чтобы функция w (z)= φ +iψ=φ(x,y)+iψ(x,y), определенная в некоторой области, была дифференцируемой в точке
12. Применение функций комплексного переменного Такая функция называется аналитической. Следовательно, любую аналитическую функ-цию w(z) можно рассматривать как
13. Применение функций комплексного переменного
14. действительная часть которой равна проекции скорости иx, а мнимая – взятой с обратным знаком проекции иу
15. Применение функций комплексного переменного При сложении течений комплексные потенци- алы суммируются: W(z) = W1(z) + W2(z)
16. Применение функций комплексного переменного В плоскости течения могут находиться точки, в которых производная комплексного потенци-ала обращается
17. (и =0) пересекаются две или несколько (конеч-ное число) линий тока. Эти точки называются точками разветвления, а
18. Применение функций комплексного переменного Величину называют сопряженной скopо-стью. В комплексной плоскости иx, иу называ-емой плоскостью годографа
19. Во-вторых, можно, задавшись аналитической функцией W, выделить в ней действительную и мнимую части (т. е. φ
20. Рассмотрим, как выразится комплексный потенциал для элементарных потоков.
21. Параллельно-струйное движение Рассмотрим функцию W= az; где а- постоянное комплексное число. Так как то которая в
22. Параллельно-струйное движение Вдоль линий тока ψ= const и, следовательно, их уравнение запишется, в виде Это уравнение
23. Параллельно-струйное движение Эквипотенциали представляют собой дpyгoе семейство параллельных прямых, ортогональ-ное к первому.
24. Течение от источника (стока) в начале координат dsθ Представим z в показа-тельной форме тогда
25. Течение от источника (стока) в начале координат Линии тока (ψ= cоnst или у/х =const) представ-ляют собой
26. Течение от источника в точке z0=x0+iy0 ψ=const dr φ=const x x0 y0 y
27. Течение от вихря в точке z0=x0+iy0 y0 x x0 y0 y
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 7 Плоское потенциальное движение

Слайд 3

Применение функций комплексного переменного
Как уже отмечали, для для плоских потенци-альных течений

существуют функции, связан-ные соотношениями

Эти уравнения дают возможность применить для описания потенциальных течений несжи-маемой жидкости, аппарат теории функции комплексного переменного

Слайд 4

Применение функций комплексного переменного
В теории функций комплексного переменного доказывается, что если

две функции φ(х,у) и ψ(х,у) связаны приведенными условиями (условиями Коши-Римана), то они являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой функции комплексного переменного

w (z)= φ +iψ,

называемой комплексным потенциалом.

Эта функция обладает определенной конеч-ной производной во всех точках области, где определены φ и ψ .

Слайд 5

Применение функций комплексного переменного
х
Re z
Im z
у
r
z = x + iy
θ
а)
Комплексное число

имеет действительную (Re) и мнимую (Im) части

Слайд 6

Применение функций комплексного переменного
Плоскость течения рассматривается, как пло-скость комплексной переменной
z

= x + iy

Слайд 7

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором. Длина радиус-вектора, изоб-
ражающего комплексное число

, называется модулем комплексного числа.

Применение функций комплексного переменного

Модуль вычисляется по формуле:

Слайд 8

Применение функций комплексного переменного
О комплексных числах
Модуль любого ненулевого комплексного чис-
ла

есть положительное число.

Число называется комплексно-со-
пряженным числом к числу , т. е. комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

z = x + iy

z = x - iy

Модули комплексно-сопряженных чисел равны.

Слайд 9

Модуль произведения (частного) двух комп-
лексных чисел равен произведению (частно-
му) модулей каждого

из чисел.

Применение функций комплексного переменного

Аргумент θ комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотноше-ниями:

Слайд 10

Применение функций комплексного переменного

Тригонометрической формой комплексного числа называется выражение
Показательной формой

комплексного числа называется выражение

Слайд 11

Для того, чтобы функция
w (z)= φ +iψ=φ(x,y)+iψ(x,y),
определенная в некоторой

области, была дифференцируемой в точке z этой области, необходимо и достаточно, чтобы функции
φ(х, у) и ψ(x,y)
были дифференцируемы в той же точке и для них удовлетворялись уравнения Коши-Рима-на.

Применение функций комплексного переменного

Слайд 12

Применение функций комплексного переменного
Такая функция называется аналитической. Следовательно, любую аналитическую функ-цию

w(z) можно рассматривать как комплек-сный потенциал некоторого плоского течения.

Производная функции комплексного пе-
ременного считается существующей
лишь тогда, когда

не зависит от способа приближения Δz к нулю.

Слайд 13

Применение функций комплексного переменного

Слайд 14

действительная часть которой равна проекции скорости иx, а мнимая – взятой

с обратным знаком проекции иу

Производная комплексного потенциала по не-зависимой переменной представляет собой комплексную переменную

Применение функций комплексного переменного

Слайд 15

Применение функций комплексного переменного
При сложении течений комплексные потенци-
алы суммируются:
W(z) = W1(z)

+ W2(z) + …+Wn (z)

Производная функции течения в какой либо точке равна комплексной сопряженной скорости в этой точке.

Модуль этой пpoизводной дает абсолютную величину скорости, а аргумент, взятый с обратным знаком, определяет направление скорости в рассматриваемой точке.

Слайд 16

Применение функций комплексного переменного
В плоскости течения могут находиться точки, в которых

производная комплексного потенци-ала обращается в ноль или в бесконечность. Это особые точки, в которых функция W(z) не является аналитической.

В точках, где

может пересекаться бесконечно большое число линий тока. В этих точках распoлагa-ютcя источники, диполи, вихри.

Слайд 17

(и =0) пересекаются две или несколько (конеч-ное число) линий тока. Эти

точки называются точками разветвления, а пpoходящиe через них линии тока - разделительными.

В точках, где

Применение функций комплексного переменного

Слайд 18

Применение функций комплексного переменного
Величину называют сопряженной скopо-стью. В комплексной плоскости иx,

иу называ-емой плоскостью годографа скорости, число является сопряженным с числом

которое называется комплексной скоростью.

Величины и и можно также представить в форме

Слайд 19

Во-вторых, можно, задавшись аналитической функцией W, выделить в ней действительную и

мнимую части (т. е. φ и ψ).
А также найти
чем определится поле скоростей.

Применение функций комплексного переменного

Плоские течения с помощью комплексного потенциала можно изучать различно.

Во-первых, можно, задавшись конфигурацией линий тока или полем скоростей, отыскивать вид функций φ и ψ, W и .

Слайд 20

Рассмотрим, как выразится комплексный потенциал для элементарных потоков.

Слайд 21

Параллельно-струйное движение
Рассмотрим функцию W= az; где а- постоянное комплексное число.
Так

как

то

которая в этом случае постоянна во всей плоскости течения .

Слайд 22

Параллельно-струйное движение
Вдоль линий тока ψ= const и, следовательно, их уравнение запишется,

в виде

Это уравнение семейства параллельных прямых, наклоненных к оси х, под углом α

Слайд 23

Параллельно-струйное движение
Эквипотенциали представляют собой дpyгoе семейство параллельных прямых, ортогональ-ное к первому.

Слайд 24

Течение от источника (стока) в начале координат
dsθ
Представим z в показа-тельной форме
тогда

Слайд 25

Течение от источника (стока) в начале координат
Линии тока (ψ= cоnst или

у/х =const) представ-ляют собой прямые, проходящие через нача-ло координат, а эквипотенциали (φ= const или х2+y2= const) -окружности с общим центром в начале координат.

Проекции скорости в полярных координатах:

В поле источника (стока) скорость убывает об-ратно пропорционально расстоянию от центра.

Скорость, направленная от центра к периферии (источник), положительна, в этом случае Q >0. Стоку соответствует Q <0.

Слайд 26

Течение от источника в точке z0=x0+iy0
ψ=const
dr
φ=const
x
x0
y0
y

Слайд 27

Применение функций комплексного переменного

Содержание

Лекция 7 Плоское потенциальное движение

Применение функций комплексного переменногоКак уже отмечали, для для плоских потенци-альных течений

Применение функций комплексного переменногоВ теории функций комплексного переменного доказывается, что если

Применение функций комплексного переменногохRe zIm zуrz = x + iyθа)Комплексное число

Применение функций комплексного переменногоПлоскость течения рассматривается, как пло-скость комплексной переменной z

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором. Длина радиус-вектора, изоб-ражающего комплексное число

Применение функций комплексного переменногоО комплексных числах Модуль любого ненулевого комплексного чис-ла

Модуль произведения (частного) двух комп-лексных чисел равен произведению (частно-му) модулей каждого

Применение функций комплексного переменного Тригонометрической формой комплексного числа называется выражениеПоказательной формой

Для того, чтобы функция w (z)= φ +iψ=φ(x,y)+iψ(x,y), определенная в некоторой

Применение функций комплексного переменногоТакая функция называется аналитической. Следовательно, любую аналитическую функ-цию

Применение функций комплексного переменного

действительная часть которой равна проекции скорости иx, а мнимая – взятой

Применение функций комплексного переменногоПри сложении течений комплексные потенци-алы суммируются:W(z) = W1(z)

Применение функций комплексного переменногоВ плоскости течения могут находиться точки, в которых

(и =0) пересекаются две или несколько (конеч-ное число) линий тока. Эти

Применение функций комплексного переменногоВеличину называют сопряженной скopо-стью. В комплексной плоскости иx,

Во-вторых, можно, задавшись аналитической функцией W, выделить в ней действительную и

Рассмотрим, как выразится комплексный потенциал для элементарных потоков.

Параллельно-струйное движениеРассмотрим функцию W= az; где а- постоянное комплексное число. Так

Параллельно-струйное движениеВдоль линий тока ψ= const и, следовательно, их уравнение запишется,

Параллельно-струйное движениеЭквипотенциали представляют собой дpyгoе семейство параллельных прямых, ортогональ-ное к первому.

Течение от источника (стока) в начале координатdsθПредставим z в показа-тельной форметогда

Течение от источника (стока) в начале координатЛинии тока (ψ= cоnst или

Течение от источника в точке z0=x0+iy0ψ=constdrφ=constxx0y0y

Течение от вихря в точке z0=x0+iy0y0xx0y0y

Похожие презентации

Применение функций комплексного переменного
Как уже отмечали, для для плоских потенци-альных течений

Применение функций комплексного переменного
В теории функций комплексного переменного доказывается, что если

Применение функций комплексного переменного
х
Re z
Im z
у
r
z = x + iy
θ
а)
Комплексное число

Применение функций комплексного переменного
Плоскость течения рассматривается, как пло-скость комплексной переменной
z

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором. Длина радиус-вектора, изоб-
ражающего комплексное число

Применение функций комплексного переменного
О комплексных числах
Модуль любого ненулевого комплексного чис-
ла

Модуль произведения (частного) двух комп-
лексных чисел равен произведению (частно-
му) модулей каждого

Применение функций комплексного переменного

Тригонометрической формой комплексного числа называется выражение
Показательной формой

Для того, чтобы функция
w (z)= φ +iψ=φ(x,y)+iψ(x,y),
определенная в некоторой

Применение функций комплексного переменного
Такая функция называется аналитической. Следовательно, любую аналитическую функ-цию

Применение функций комплексного переменного
При сложении течений комплексные потенци-
алы суммируются:
W(z) = W1(z)

Применение функций комплексного переменного
В плоскости течения могут находиться точки, в которых

Применение функций комплексного переменного
Величину называют сопряженной скopо-стью. В комплексной плоскости иx,

Параллельно-струйное движение
Рассмотрим функцию W= az; где а- постоянное комплексное число.
Так

Параллельно-струйное движение
Вдоль линий тока ψ= const и, следовательно, их уравнение запишется,

Параллельно-струйное движение
Эквипотенциали представляют собой дpyгoе семейство параллельных прямых, ортогональ-ное к первому.

Течение от источника (стока) в начале координат
dsθ
Представим z в показа-тельной форме
тогда

Течение от источника (стока) в начале координат
Линии тока (ψ= cоnst или

Течение от источника в точке z0=x0+iy0
ψ=const
dr
φ=const
x
x0
y0
y

Течение от вихря в точке z0=x0+iy0
y0
x
x0
y0
y