Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям

Июль 24, 2022

Главная
Физика
Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям

Содержание

2. 1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна В средине XIX века была сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но тогда
3. Теоретики первыми нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что Отсюда среднеквадратичная скорость равна:
4. Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м3, при t = 0° С и , скорости молекул
5. Опыт Штерна Схема установки О. Штерна
6. Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S1, S3. Внутри цилиндров поддерживается
7. Опыт Штерна Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью то изображение щели смещается
8. Пусть l – расстояние между D и D/, измеренное вдоль поверхности цилиндра S3, где – линейная
9. Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200°С, что соответствует среднеквадратичной скорости молекул серебра В эксперименте получился
10. Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то «распределяются»
11. 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества
12. Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельным
13. Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих
14. Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и
15. Будем искать число частиц (Δn) скорости которых лежат в определённом интервале значения скорости Δυ ( т.е.
16. Здесь – функция распределения молекул по скоростям, n – концентрация молекул и - интервал значений скоростей.
17. Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в
18. 3. Функция распределения Максвелла Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при
19. В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения
20. Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860
21. Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой составляющей скорости), имеем тогда или
22. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При ,
23. Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-ым компонентам скорости. Очевидно, что и
24. Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале
25. Или Этой формуле можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами
27. Величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по
29. Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:
30. Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютным значениям скоростей: где – доля всех частиц
31. При получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям: Эта функция обозначает долю молекул единичного
32. Обозначим тогда получим:
33. Выводы: - Вид распределения молекул газа по скоростям, для каждого газа зависит от массы m и
34. Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно
35. Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким образом, если частица находится
36. Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной
37. Из графика видно, что при «малых» υ , т.е. при , имеем ; затем достигает максимума
38. Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости называют наиболее вероятной скоростью. Величину этой скорости найдем из
39. Среднюю квадратичную скорость найдем используя соотношение : – для одной молекулы. – для одного моля газа.
40. Средняя арифметическая скорость − υср где – число молекул со скоростью от υ до . Если
42. Формула Максвелла для относительных скоростей Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена
43. Формула Максвелла для относительных скоростей Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни
45. Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа
46. Площадь под кривой величина постоянная, равная единице ( ), поэтому важно знать как будет изменяться положение
47. Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть P – давление на
48. – плотность газа на высоте h С = Р0 – давление на высоте . - барометрическая
49. Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше
50. Таким образом, чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.
51. Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия. Пусть идеальный газ находится
52. Число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, значит и давление тоже
53. Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: , заменим P и P0 в барометрической формуле на n
54. Так как , то распределение Больцмана можно представить в виде:
55. С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T=0 тепловое движение прекращается,
56. Так как –потенциальная энергия, следовательно, распределение Больцмана характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии: – это
57. На рисунке показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с
58. Можно получить отношение концентраций молекул в точках с U1 и U2 Больцман доказал, что соотношение справедливо
59. Из выражения для распределения молекул по скоростям можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии
60. Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения: Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
61. Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии а закон Больцмана – распределение частиц
62. Обозначим E=U+K – полная энергия. Тогда Это закон распределения Максвелла-Больцмана. Здесь n0 – число молекул в
63. Потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если
64. где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi, а А – коэффициент пропорциональности,
66. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна
В средине XIX века была

сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но тогда не было никаких доказательств существования самих молекул. Вся теория базировалась на предположении о движении молекул, но как измерить скорость их движения, если они невидимы.

Слайд 3

Теоретики первыми нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что

Отсюда среднеквадратичная скорость равна:

Слайд 4

Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м3, при t = 0°

С и , скорости молекул азота . Для водорода:

Слайд 5

Опыт Штерна Схема установки О. Штерна

Слайд 6

Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров

S1, S3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 °С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S1 и диафрагме S2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S3, на которой они могут осаждаться. Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на поверхности цилиндра S3.

Слайд 7

Опыт Штерна Если же вся система приводится во вращение с угловой

скоростью то изображение щели смещается в точку D′ и становится расплывчатым.

Слайд 8

Пусть l – расстояние между D и D/, измеренное вдоль поверхности

цилиндра S3, где – линейная скорость точек поверхности цилиндра S3, радиусом R; − время прохождения атомами серебра расстояния . Таким образом, имеем откуда – можно определить величину скорости теплового движения атомов серебра:

Слайд 9

Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200°С, что соответствует среднеквадратичной скорости

молекул серебра В эксперименте получился разброс значений скорости от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D′ всегда оказывалось размытым, что указывало на то, что атомы Ag движутся с различными скоростями.

Слайд 10

Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь

друг с другом, как-то «распределяются» по скоростям, причём вполне определённым образом.

Таким образом, в этом опыте были не только измерены скорости газовых молекул, но и показано, что они имеют большой разброс по скоростям. Причина – в хаотичности теплового движения молекул.

Слайд 11

2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям
С точки

зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы.
Величины такого рода называются статистическими.
Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др.

Слайд 12

Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении

статистических переменных, не свойственные отдельным атомам и молекулам.
Такие закономерности называются вероятностными или статистическими

Слайд 13

Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к

которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних: Здесь n′ − число раз, когда событие произошло, а n − общее число опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.

Слайд 14

Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень

медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определённым образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначным и единственно возможным, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

Слайд 15

Будем искать число частиц (Δn) скорости которых лежат в определённом интервале

значения скорости Δυ ( т.е. от υ до ). Здесь Δn – число молекул, попавших в этот интервал. Для единицы объёма Δn должно быть пропорционально:
интервалу скорости Δυ,
концентрации молекул n,
самой скорости молекул υ.
Таким образом

Слайд 16

Здесь – функция распределения молекул по скоростям, n – концентрация молекул

и - интервал значений скоростей. Перейдя к пределу, получим Физический смысл f(υ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей:

Слайд 17

Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова

вероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале, включающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

Слайд 18

3. Функция распределения Максвелла
Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии

беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом.
В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Слайд 19

В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на

Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга.
Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале
от до

Слайд 20

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским

ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям.

Слайд 21

Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой

составляющей скорости), имеем тогда или

Слайд 22

Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю.
При ,

Слайд 23

Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-ым

компонентам скорости. Очевидно, что и по y–ым и z–ым компонентам скорости также можно получить:

Слайд 24

Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x

– компонента скорости лежит в интервале от υх до ; y – компонента, в интервале от υy до ; z – компонента, в интервале от υz до будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где

Слайд 25

Или Этой формуле можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число

молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

Слайд 26

Слайд 27

Величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому

надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.
Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ

Слайд 28

Слайд 29

Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:

Слайд 30

Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютным значениям скоростей:

где – доля всех частиц единичного объёма, скорости которых лежат в интервале от υ до

Слайд 31

При получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям: Эта

функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

Слайд 32

Обозначим
тогда получим:

Слайд 33

Выводы:
- Вид распределения молекул газа по скоростям, для каждого газа

зависит от массы m и температуры Т газа и не зависит от давления P и объёма V газа.
- В показателе степени стоит отношение, кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к средней энергии теплового движения молекул при данной температуре:
Значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (показывает, какова вероятность при данной температуре иметь такое значение кинетической энергии).

Слайд 34

Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого

воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

Слайд 35

Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким

образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

Слайд 36

Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на

единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

Слайд 37

Из графика видно, что при «малых» υ , т.е. при

, имеем ;
затем достигает максимума А и далее
экспоненциально спадает .

Слайд 38

Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости называют наиболее вероятной скоростью.

Величину этой скорости найдем из условия равенства нулю производной
- наиболее вероятная скорость
одной молекулы. Для одного моля газа:

Слайд 39

Среднюю квадратичную скорость найдем используя соотношение :
– для одной

молекулы.
– для одного моля газа.

Слайд 40

Средняя арифметическая скорость − υср где – число молекул со скоростью от

υ до . Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим: – для одной молекулы. – для одного моля газа.

Слайд 41

Слайд 42

Формула Максвелла для относительных скоростей
Для решения многих задач удобно использовать формулу

Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.
Относительную скорость обозначим через u:
где

Слайд 43

Формула Максвелла для относительных скоростей
Это уравнение универсальное. В таком виде функция

распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры

Слайд 44

Слайд 45

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

Слайд 46

Площадь под кривой величина постоянная, равная единице ( ), поэтому важно

знать как будет изменяться положение максимума кривой: Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Слайд 47

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа.

Пусть P – давление на высоте h, а – на высоте

4. Барометрическая формула

Причём dh>0, dР < 0, так как на большей высоте давление меньше.
Разность давления равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, ρ − плотность газа на высоте h, медленно убывает с высотой.

Слайд 48

– плотность газа на высоте h
С = Р0 – давление на

высоте

- барометрическая формула

Слайд 49

Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем

быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н2 гораздо больше чем у поверхности Земли).
На рисунке изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т, при одинаковых μ.

Слайд 50

Таким образом, чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура,

тем быстрее убывает давление.

Слайд 51

Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового

равновесия.
Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил, в условиях теплового равновесия. При этом, концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия.

5. Распределение Больцмана

Слайд 52

Число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности

Земли, значит и давление тоже убывает.
Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Слайд 53

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: , заменим P и P0

в барометрической формуле на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: где n0 и n − число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h, соответственно.

Слайд 54

Так как , то распределение Больцмана можно представить в виде:

Слайд 55

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает.

При T=0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности.
При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой.

Слайд 56

Так как –потенциальная энергия, следовательно, распределение Больцмана характеризует распределение частиц по

значениям потенциальной энергии: – это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана.
Здесь n0 – число молекул в единице объёма в там, где U=0

Слайд 57

На рисунке показана зависимость концентрации различных газов от высоты.
Видно, что

число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Слайд 58

Можно получить отношение концентраций молекул в точках с U1 и U2
Больцман

доказал, что соотношение справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Слайд 59

Из выражения для распределения молекул по скоростям
можно найти распределение молекул

газа по значениям кинетической энергии K. Для этого перейдём от переменной υ к переменной К :

6. Закон распределения Максвелла-Больцмана

где dn(K) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключённую в интервале от K до К+dК

Слайд 60

Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения: Средняя кинетическая

энергия молекулы идеального газа:

Слайд 61

Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии а

закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии.
Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла-Больцмана, согласно которому, число молекул в единице объёма, скорости которых лежат в пределах от υ до υ+dυ равно:

Слайд 62

Обозначим E=U+K – полная энергия. Тогда Это закон распределения Максвелла-Больцмана. Здесь n0

– число молекул в единице объёма в той точке, где ; .

Слайд 63

Потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е,

могут принимать непрерывный ряд значений.
Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е1, Е2 ... (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:

Слайд 64

где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi,

а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию: где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.