Символический метод. Цепи с магнитосвязанными элементами

магнитный поток.
Ф11 = Ф1s+ Ф12
Ф22 = Ф2s+ Ф21
Ф1S , Ф2s – потоки рассеяния
Ф12,Ф21- потоки взаимоиндукции

Когда потоки само и взаимоиндукции совпадают в магнитосвязанных катушках, то такое включение называют согласным.

, ψ22= L2i2 , ψ12= Mi1 , ψ21= Mi2 , то

Или в комплексном виде

U k1= I 1 jωL1+ I 2jωM U k2= I 2 jωL2+ I 1jωM

направлены встречно. (Рис2)

Рис.2

U k1= I 1 jωL1- I 2jωM U k2= I 2 jωL2- I 1jωM

другу, то такое включение катушек называется встречным.

друг на друга по разному , то обязательно указываются индексы взаимодействующих катушек

М12

М13

М23

катушки включены согласно, то в законах Кирхгофа напряжение самоиндукции и взаимоиндукции записываются с одинаковыми знаками,если встречно-то с противоположными знаками.

Замечание.
Напряжение, обусловленное потоком самоиндукции (Ф11,Ф22) называется напряжением самоиндукции, а потоками (Ф12,Ф21) напряжением взаимоиндукции.
U1=I1jωL1 , U2= I2jωL2-напряжения самоиндукции
U12=I2 jωM - напряжение взаимоиндукции( напряжение на первой катушке обусловленное током второй катушки.)
U21=I1 jωM - напряжение взаимоиндукции( напряжение на второй катушке обусловленное током первой катушки.)

при определении знака напряжения взаимной индукции сравнивают направление обхода катушки К и тока в катушке S относительно одноименных зажимов. Если эти направления совпадают, то знаки у напряжений само- и взаимоиндукции одинаковы, если нет-то противоположные.

Пример

+ U2=0

I jхm+ I R2+I jxL2+I jxm= U

а)

Согласное включение катушек

xL2 +2 xm)

Xсогл.

( xL1+ xL2 +2 xm) = х согл.-

полное реактивное сопротивление катушек при их согласном последовательном включении

Векторная диаграмма

I

U

IR

I jxL1

IjxL2

Ijxm

Ijxm

Uk2

Uk1

I jxm

- напряжение взаимоиндукции

I jxL1 ,

- напряжения самоиндукции

I jxL2

I jxm=U

Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура

U = I (R1+ R2 ) + I j ( xL1+ xL2 - 2 xm)

Xвстречн.

катушек при их последовательном встречном включении

Векторная диаграмма

М, без предварительных преобразований, можно осуществлять только по законам Кирхгофа, методу контурных токов, методу наложения. Все остальные методы ( узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования электрических цепей ) для расчета цепей со взаимной индукцией не могут использоваться, так как токи в ветвях зависят не только от разности потенциалов обусловленной источником питания, но и от взаимодействия ветвей друг с другом.

-E3

xm13

xm43

I4R4+I4jxL4-I3jxm13+I1 jxm14= 0

2.Составим систему уравнений по методу контурных токов

(для верхнего узла)

I11

I22

I33

I11 (R1+jxL1 + R2- jxc2 )- I22 (R2- jxc2 )+ I22 jxm13+I33jxm14= E1

Расчет сложных электрических цепей с взаимоиндукцией

(R4+jxL4 )+I11jxm14+I22 jxm34= 0

Полученные системы уравнений достаточно сложны, так как учитывают наводимые потоками взаимоиндукции напряжения в катушках индуктивности. Для упрощения расчетов можно произвести эквивалентную замену индуктивных связей. Тогда получим обычную электрическую цепь, при расчетах можно использовать любые известные методы.

Получить эквивалентную схему без магнитных связей

1.I1 + I2 - I3= 0

Система уравнений по законам Кирхгофа

2.-I1 jxL1 – I2 jxm +U13=0

3.-I2 jxL1 – I1 jxm +U23=0

Выразим из 1го уравнения токи I1 и I2

I1=I3- I2 I2=I3-I1 и

подставим их в уравнения 2 и 3

Рис.1

может составлена электрическая схема

U23

jxL1

I1

I2

U13

I3

1

2

3

-jxm

jxL2

-jxm

+jxm

Рис.2

В электрической цепи Рис.2 уже нет магнитной связи, однако в ветвях 1 и 2, а также за узлом появились дополнительные сопротивления хм. Цепь "развязана." Полученная электрическая цепь эквивалентна заданной. В цепи рис.2 и заданной одинаковы токи I1 , I2 ,I3 , а также напряжения U13 и U23.

подключены к узлу одинаковыми зажимами ,то при "развязке" в свои ветви (где находятся катушки) добавляются сопротивления ( -jХm), а в ветвь за узлом сопротивление (+jxm).Если катушки присоединены разноименными зажимами , то знаки у сопротивлений xm противоположные.