Теорія псевдопотенціалів

Июль 27, 2022

Главная
Физика
Теорія псевдопотенціалів

Содержание

2. Зміст Для чого потрібні псевдопотенціали (ПП)? Модельні ПП Зберігаючі норму ПП Не-зберігаючі норму ПП Перші ab
3. Для чого потрібні псевдопотенціали ? Теорія псевдопотенціалів є ефективним підходом для знаходження розв’язків одноелектронних рівнянь, коли
4. Теорема Блоха: при трансляційній інваріантності на вектор τ одноелектронна функція дістає фазовий множник: Можна ввести періодичну
5. Різниця між реальними потенціалами і псевдопотенціалами Реальні потенціали у рівнянні КШ будуть генерувати власні хвильові функції
6. Псевдопотенціали з перших принципів J.Phillips, L.Kleinman (1959) – псевдопотенціали, побудовані на базисі ортогоналізованих плоских хвиль. Сильнолокалізовані
7. ОПХ-псевдопотенціали з перших принципів Основні недоліки ОПХ-псевдопотенціалів: Залежність від шуканої енергії. Переповненість базисного набору ОПХ
8. Формалізм повністю ортогоналізованих плоских хвиль M.D.Girardeau // J.Math.Phys., 1971, v.12, p.165 Б.О.Гурський, З.О.Гурський // УФЖ, 1976,
9. Переваги формалізму повністю ортогоналізованих плоских хвиль Унітарне перетворення між гамільтоніаном кристалу та гамільтоніаном що містить псевдопотенціал:
10. Умови, що накладаються на “вибрані” вектори зворотньої гратки Gα T.Bryk, Z.Gurskii // Theor.Math.Phys. 1993, v.96, p.473-481
11. Недоліки формалізму ПОПХ Необхідність співставлення блохівським функціям не окремих плоских хвиль, а відповідних симетризованих комбінацій з
12. Модельний підхід у теорії псевдопотенціалів Псевдопотенціал Гейне-Абаренкова (1964): Узагальнений ПП Гейне-Абаренкова Рівняння Шредінгера для псевдохвильової функції:
13. Використання теорії збурень по псевдопотенціалу Повна енергія електрон-іонної системи: Енергія зонної структури: визначається в рамках другого
14. Псевдопотенціал Краско-Гурського Г.Л.Краско, З.А.Гурский. Письма в ЖЭТФ, 1969, т.9, с.596-601 З.А.Гурский, Г.Л.Краско. Доклады АН СССР, 1971,
15. Псевдопотенціал Краско-Гурського Умови на знаходження параматрів та псевдопотенціалу Краско-Гурського: Безвузловій псевдохвильовій функції відповідає те ж значення
16. Прогрес у теорії псевдопотенціалів після формалізму ПОПХ L.Kleinman, D.M. Bylander: Exact “Phillips-Kleinman-like” pseudopotentials (1992): P.Blochl: Formalism
17. Різниця між реальними потенціалами і зберігаючими норму ПП псевдопотенціал Точний потенціал rc=1.4a.u. Ефективний ПП Безвузлові функції
18. Зберігаючі норму псевдопотенціалами Умова збереження заряду Важливий наслідок ЗНПП: –справжня хвильова функція – псевдохвильова функція В
19. Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалів Числовий розв’язок рівняння КШ для атома (Al,Si,…) – знаходження атомних енергій
20. Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалів Знаходження ПП через псевдохвильову функцію – для даного центрально-симетричне рівняння типу
21. Аналітичне задання псевдофункцій Умови: Аналітичне представлення: поліноміальна функція (Troullier and Martins) сферичні функції Бесселя , q’I
22. Аналітичне задання псевдофункцій Як правило береться лише 3-4 члени в розкладі: максимальне
23. Факторизація псевдопотенціалів Така процедура потрібна для пришвидшення розрахунків. Вибрати локальний потенціал відліку Зконструювати проектор, такий що
24. Резюме для ЗН псевдопотенціалів На даний момент знаємо, що: Точна атомна хвильова функція для r Для
25. Дві енергії відліку для побудови ЗН псевдопотенціалів Побудова псевдофункцій при двох енергіях Будуються два проектори Факторизований
26. Не-зберігаючі норму псевдопотенціалами ЗН ПП Ультрам’які ПП
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Зміст
Для чого потрібні псевдопотенціали (ПП)?
Модельні ПП
Зберігаючі норму ПП

Не-зберігаючі норму ПП

Перші ab initio псевдопотенціали та їхні проблеми

PAW-потенціали

Слайд 3

Для чого потрібні псевдопотенціали ?
Теорія псевдопотенціалів є ефективним підходом для знаходження

розв’язків одноелектронних рівнянь, коли хвильова функція шукається у вигляді розкладу по плоских хвилях:

Основна мета введення псевдопотенціалів:

для
Стани валентних електронів відповідають найнижчим по енергіях розв’язкам рівняння для псевдохвильових функцій з

Рівняння Кона-Шема для валентного електрона в кристалі:

Розклад по плоских хвилях є
неефективним через кулонівську асимптотику для .

Слайд 4

Теорема Блоха: при трансляційній інваріантності на вектор τ одноелектронна функція дістає

фазовий множник:

Можна ввести періодичну функцію
Тоді

Фур’є-розклади густини
потенціалу

На практиці береться скінчене число плоских хвиль

Розклади хвильових функцій по плоским хвилям

Слайд 5

Різниця між реальними потенціалами і псевдопотенціалами
Реальні потенціали у рівнянні КШ будуть

генерувати власні хвильові функції з атомоподібною поведінкою в області ядра: енергетичному рівню n,l,m буде відповідати хвильова функція з (n-l-1) вузлом. Осциляції, пов’язані з великою кількістю вузлів вимагають дуже багато плоских хвиль для опису. Тому необхідно побудувати схему, яка б вирішувала проблему з великою кількістю вузлів зовнішніх електронів у розрахунках. Це і робиться за допомогою псевдопотенціалів.

Типи псевдопотенціалів (ПП):

Зберігаючі норму (норма псевдохвильових та хвильових функцій ідентична)
Ультрам’які (не-зберігаючі норму)
Точні ПП

Слайд 6

Псевдопотенціали з перших принципів
J.Phillips, L.Kleinman (1959) – псевдопотенціали, побудовані

на базисі ортогоналізованих плоских хвиль.

Сильнолокалізовані функції іонного кістяка 1s, 2s, … вважаються власними функціями гамільтоніана кристалу:

Ортогоналізовані до остовних станів плоскі хвилі:

Хвильова функція валентних електронів:

Слайд 7

ОПХ-псевдопотенціали з перших принципів
Основні недоліки ОПХ-псевдопотенціалів:
Залежність від шуканої

енергії.
Переповненість базисного набору ОПХ

Слайд 8

Формалізм повністю ортогоналізованих плоских хвиль
M.D.Girardeau // J.Math.Phys., 1971, v.12,

p.165
Б.О.Гурський, З.О.Гурський // УФЖ, 1976, т.21, с.1603-1608

Основна ідея формалізму ПОПХ:

Для кристалів:

Повністю ортогоналізовані плоскі хвилі:

Слайд 9

Переваги формалізму повністю ортогоналізованих плоских хвиль
Унітарне перетворення між

гамільтоніаном кристалу та гамільтоніаном що містить псевдопотенціал:

ПОПХ –псевдопотенціал не залежить від шуканої енергії.
Існує строге співвідношення між хвильовими функціями та псевдофункціями. Знаючи псевдогустину завжди можна відтворити електронну густину системи.
Перерозподіл електронної густини викликаний ортогоналізаційними ефектами задовольняє правилу сум.

Слайд 10

Умови, що накладаються на “вибрані” вектори зворотньої гратки Gα
T.Bryk,

Z.Gurskii // Theor.Math.Phys. 1993, v.96, p.473-481

Слайд 11

Недоліки формалізму ПОПХ
Необхідність співставлення блохівським функціям не окремих

плоских хвиль, а відповідних симетризованих комбінацій з метою збереження для ПОПХ-псевдопотенціалу точкової симетрії задачі:

Наявність лінійних по блохівських функціях членів у операторі L приводить до залежності ПОПХ-псевдопотенціалів від фази функцій , що вимагає додаткової оптимізації псевдопотенціалів.

Слайд 12

Модельний підхід у теорії псевдопотенціалів
Псевдопотенціал Гейне-Абаренкова (1964):
Узагальнений ПП Гейне-Абаренкова
Рівняння Шредінгера

для псевдохвильової функції:

Слайд 13

Використання теорії збурень по псевдопотенціалу
Повна енергія електрон-іонної системи:
Енергія зонної структури:
визначається

в рамках другого порядку теорії збурень за псевдопотенціалом:

Слайд 14

Псевдопотенціал Краско-Гурського
Г.Л.Краско, З.А.Гурский. Письма в ЖЭТФ, 1969, т.9, с.596-601
З.А.Гурский,

Г.Л.Краско. Доклады АН СССР, 1971, т.197, с.810

Слайд 15

Псевдопотенціал Краско-Гурського
Умови на знаходження параматрів та псевдопотенціалу Краско-Гурського:
Безвузловій

псевдохвильовій функції відповідає те ж значення енергії, що і для хвильової функції валентного електрона.
Наявність мінімум повної енергії при експериментально спостережувальній сталій гратки:

Слайд 16

Прогрес у теорії псевдопотенціалів після формалізму ПОПХ
L.Kleinman, D.M. Bylander: Exact

“Phillips-Kleinman-like” pseudopotentials (1992):

P.Blochl: Formalism of Projector-augmented waves (PAW), 1994

D.Hamann, M. Schluter, C.Chiang: Norm-conserving pseudopotentials (1979):

D.Vanderbilt: Ultrasoft non-norm-conserving pseudopotentials (1990):

Слайд 17

Різниця між реальними потенціалами і зберігаючими норму ПП
псевдопотенціал
Точний потенціал
rc=1.4a.u.
Ефективний ПП
Безвузлові функції

Слайд 18

Зберігаючі норму псевдопотенціалами
Умова збереження заряду
Важливий наслідок ЗНПП:
–справжня хвильова функція
– псевдохвильова функція
В

точці rc розсіюючі властивості для є ідентичні для потенціалу та псевдопотенціалу у деякому околі енергій !

Слайд 19

Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалів
Числовий розв’язок рівняння КШ для атома (Al,Si,…)

– знаходження атомних енергій та атомних хвильових функцій для заданої форми обмінно-кореляційного потенціалу;
Вибирається енергія для якої буде генеруватись псевдофункція;
Заміна атомної хвильової функції на безвузлову функцію для r Умови: похідні до другого порядку
умова збереження норми
Знаходження ПП через псевдохвильову функцію
“Розекранування” ПП

Слайд 20

Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалів
Знаходження ПП через псевдохвильову функцію – для

даного центрально-симетричне рівняння типу Шредінгера обертається:

“Розекранування” ПП - від атомного псевдопотенціалу віднімаються кулонівський та обмінно-кореляційний потенціали, породжені валентними електронами. Мета – отримати ПП голого іону, який буде занурений у електронну густину.

l=0,1,2,3,…
s,p,d,f,…

Слайд 21

Аналітичне задання псевдофункцій
Умови:
Аналітичне представлення:
поліноміальна функція (Troullier and Martins)
сферичні функції

Бесселя

, q’I з умови

Слайд 22

Аналітичне задання псевдофункцій
Як правило береться лише 3-4 члени в розкладі:
максимальне

Слайд 23

Факторизація псевдопотенціалів
Така процедура потрібна для пришвидшення розрахунків.
Вибрати локальний потенціал відліку

Зконструювати проектор, такий що
Факторизований гамільтоніан задається виразом

де

Легко можна перевірити, що

Слайд 24

Резюме для ЗН псевдопотенціалів
На даний момент знаємо, що:
Точна атомна хвильова

функція для rДля енергії та є ідентичними поза радіусом кістяка
Точна функція та псевдофункція мають ідентичну норму для r

Слайд 25

Дві енергії відліку для побудови ЗН псевдопотенціалів
Побудова псевдофункцій при двох енергіях

Будуються два проектори
Факторизований гамільтоніан

Легко переконатись

Слайд 26

Теорія псевдопотенціалів

Содержание

Зміст Для чого потрібні псевдопотенціали (ПП)? Модельні ПП Зберігаючі норму ПП

Для чого потрібні псевдопотенціали ?Теорія псевдопотенціалів є ефективним підходом для знаходження

Теорема Блоха: при трансляційній інваріантності на вектор τ одноелектронна функція дістає

Різниця між реальними потенціалами і псевдопотенціаламиРеальні потенціали у рівнянні КШ будуть

Псевдопотенціали з перших принципів J.Phillips, L.Kleinman (1959) – псевдопотенціали, побудовані

ОПХ-псевдопотенціали з перших принципів Основні недоліки ОПХ-псевдопотенціалів: Залежність від шуканої

Формалізм повністю ортогоналізованих плоских хвиль M.D.Girardeau // J.Math.Phys., 1971, v.12,

Переваги формалізму повністю ортогоналізованих плоских хвиль Унітарне перетворення між

Умови, що накладаються на “вибрані” вектори зворотньої гратки Gα T.Bryk,

Недоліки формалізму ПОПХ Необхідність співставлення блохівським функціям не окремих

Модельний підхід у теорії псевдопотенціалів Псевдопотенціал Гейне-Абаренкова (1964):Узагальнений ПП Гейне-АбаренковаРівняння Шредінгера

Використання теорії збурень по псевдопотенціалуПовна енергія електрон-іонної системи:Енергія зонної структури: визначається

Псевдопотенціал Краско-Гурського Г.Л.Краско, З.А.Гурский. Письма в ЖЭТФ, 1969, т.9, с.596-601З.А.Гурский,

Псевдопотенціал Краско-Гурського Умови на знаходження параматрів та псевдопотенціалу Краско-Гурського: Безвузловій

Прогрес у теорії псевдопотенціалів після формалізму ПОПХL.Kleinman, D.M. Bylander: Exact

Різниця між реальними потенціалами і зберігаючими норму ППпсевдопотенціалТочний потенціалrc=1.4a.u.Ефективний ППБезвузлові функції

Зберігаючі норму псевдопотенціаламиУмова збереження зарядуВажливий наслідок ЗНПП:–справжня хвильова функція– псевдохвильова функціяВ

Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалівЧисловий розв’язок рівняння КШ для атома (Al,Si,…)

Алгоритм генерування зберігаючих норму псевдопотенціалівЗнаходження ПП через псевдохвильову функцію – для

Аналітичне задання псевдофункційУмови:Аналітичне представлення: поліноміальна функція (Troullier and Martins) сферичні функції

Аналітичне задання псевдофункційЯк правило береться лише 3-4 члени в розкладі:максимальне

Факторизація псевдопотенціалівТака процедура потрібна для пришвидшення розрахунків. Вибрати локальний потенціал відліку

Резюме для ЗН псевдопотенціалівНа даний момент знаємо, що: Точна атомна хвильова

Дві енергії відліку для побудови ЗН псевдопотенціалівПобудова псевдофункцій при двох енергіях

Не-зберігаючі норму псевдопотенціаламиЗН ППУльтрам’які ПП

Похожие презентации