Угловой момент, центральное поле, атомы водорода и гелия

энергии

Вопрос 7

и проекции орбитального момента

Оператор момента импульса

l=0,1,2,…; ml=0,±1, ±2,…±l

и молекулы Н2

Формула Бальмера для длин волн в видимой и ближней ультрафиолетовой части спектра

постоянная Ридберга

приведенная масса электрона и протона

λ

Серия Бальмера

квантовое число

n − главное квантовое число

Δl = ± 1

Правила отбора при испускании и поглощении света

амплитуда рассеяния
Борновское приближение.
Парциальное разложение амплитуды рассеяния.
Оптическая модель.

ядре
явилось исследование рассеяния быстрых электронов на ядрах, начатое Р. Хофштадтером
с 1956 г. (Нобелевская премия по физике за 1961 г.). Схема опыта была аналогична схеме
опыта Резерфорда с заменой альфа-частиц от радиоактивного препарата на ускоренные
электроны. В типичных экспериментах (см. рис. 1) интенсивный пучок релятивистских
электронов с энергией от 150 МэВ до нескольких ГэВ направлялся из ускорителя в камеру с
мишенью в виде тонкой плёнки. Измерялась интенсивность I(θ) [1/c] потока электронов,
рассеянных в элемент телесного угла dΩ [ср]. Отношение величины I(θ) /dΩ [1/(ср⋅с)] к плотности потока налетающих частиц j [1/(см2⋅с)] представляет собой дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ (рис. 2). Его значения принято записывать в см2/ср., фм2/ср. (1 фм = 10-15 м), б/ср. (1 бн = 1 барн = 10-24 см2).

Типичный эксперимент по рассеянию частиц: упругое рассеяние быстрых электронов на атомных ядрах

Зависимости от угла дифференциальных сечений рассеяния электронов с энергией 750 МэВ на ядрах кальция. Значения сечений рассеяния на ядрах 40Ca увеличены в 10 раз, а на ядрах 48Ca уменьшены в 10 раз.

Рис. 1.

Рис. 2.

I(θ)

волна

расходящаяся сферическая волна

Волновая функция на больших расстояниях

Поток вероятности I(θ) через dS=r2dΩ

Отношение I(θ) к плотности потока налетающих частиц представляет собой дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ,

выражается в единицах бн/ср, 1 барн равен: 1 бн = 10-24 см2.

к формуле 9

к формуле 9

U(r) – центральное короткодействующее поле

применимости

при больших скоростях

приближение для волновой функции:

Для приближенного уравнения

Дифференциальное сечение
рассеяния

при малых скоростях

z

расходящаяся сферическая
волна

U(r) – центральное
короткодействующее поле

Волновая функция

формулы 10

формулы 10

Борновское приближение

Борновское приближение

Шредингера

начала координат

парциальные волны в MathCAD:

s-волна l=0

p-волна l=1

d-волна l=2

jl(x) – сферические функции Бесселя

начала координат

парциальные волны в Maple:

s-волна l=0

jl(x) – сферические функции Бесселя

MathCAD

начала координат

парциальные волны:

p-волна l=1

jl(x) – сферические функции Бесселя

z

z

MathCAD

начала координат

парциальные волны:

d-волна l=2

jl(x) – сферические функции Бесселя

MathCAD

расстояниях
от рассеивающего центра

дифференциальное
сечение рассеяния

полное сечение рассеяния равно сумме парциальных сечений

δl –парциальные фазы рассеяния

Диагональный элемент матрицы рассеяния

формулы 11

U(r) – центральное короткодействующее поле

расходящаяся сферическая волна

сходящаяся сферическая волна

радиальная часть парциальной волны при свободном движении

радиальная часть парциальной волны при рассеянии

радиальных частей волновой функции и фаза рассеяния δ0

δ0≈0

δ0

– длина рассеяния

Рассеяние изотропно

Свободное
движение

Рассеяние

формулы 11

σ

частиц в кулоновском поле

E

Кулоновская амплитуда рассеяния
fC(θ) известна в явном виде,

сечение рассеяния

совпадает с классической формулой

Волновая функция на больших
расстояниях от ядра при r→∞

η – кулоновский параметр (параметр
Зоммерфельда)

U(r)=VC(r)+VN(r)

U(r)≈VC(r)

U(r)=VC(r)+VN(r)

кулоновских и ядерных сил

траектории

плотность вероятности

Ni+Pb E=300 МэВ

E

η – кулоновский параметр (параметр
Зоммерфельда)

Волновая функция на больших расстояниях от ядра при r→∞

Кулоновская амплитуда рассеяния
fC(θ) известна в явном виде

Ядерная амплитуда рассеяния
fN(θ) находится на основе
численного решения радиальных
уравнений Шредингера для
парциальных волн.

U(r)=VC(r)+VN(r)

U(r)=VC(r)+VN(r)

реакции. Например,
при столкновении протона с ядром А возможны следующие каналы реакции:

p+A → p+A (упругое рассеяние)
p+A* (неупругое рассеяние
с возбуждением ядра-мишени)
n+A (выбивание нейтрона)
А1+A2 (деление ядра)
другие каналы

При энергиях, превышающих порог неупругих
процессов, частица-снаряд может выйти из упругого
канала. При этом число упруго рассеянных частиц
всегда меньше, чем число частиц налетающих на
ядро-мишень.

В нерелятивистской квантовой механике уменьшение потока частиц может быть смоделировано
добавлением отрицательной мнимой части iW(r), W(r)<0, к потенциалу взаимодействия ядер V(r).

Нестационарное уравнение Шредингера

Уравнение непрерывности, описывающее
поглощение частиц

плотность вероятности

вектор плотности потока вероятности

Фешбах, 1954 г.

поверхностное поглощение

объемное
поглощение

NRV

упругому рассеянию, (для максимальной энергии из имеющихся) и расчеты дифференциального сечения в оптической модели с помощью базы знаний NRV для реакций 6Li+X

X

по ядерной физике низких энергий. URL: http://nrv.jinr.ru/
ЛЯР им. Г.Н. Флерова ОИЯИ

ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ В БАЗЕ ЗНАНИЙ NUCLEAR REACTION VIDEO (NRV)
Методические указания к практическим и лабораторным занятиям (на русском языке)

экспериментальные данные

Рис. 1. Экспериментальные данные для упругого рассеяния ядер 6Li на ядрах 6Li с энергией Elab=40 МэВ.

ввод данных

Рис. 2. Форма для ввода данных для расчетов упругого рассеяния ядер 6Li на ядрах 6Li.

Описание

выбор потенциала

Рис. 3. Примеры выбора систематик для параметров потенциала оптической модели.

результаты

Рис. 4. Пример результатов расчета для начальных данных на рис. 2.

парциальные волны

Рис. 5. Парциальные волны с орбитальными квантовыми числами L = 0, 10, 20 (справа) и зависимость парциальной S-матрицы от L для упругого рассеяния ядер 6Li на ядрах 6Li с энергией Elab = 40 МэВ (слева).

Характеристика непрозрачности (поглощения) парциальных волн с орбитальным квантовым числом L

расчета от экспериментальных данных можно варьировать лишь не более 5 параметров. В случае объемных потенциалов Вудса-Саксона (WS Volume)
не более 5-и из 6-и: V0, r0V, aV, W0, r0W, aW .

I

V0, r0V, aV, W0, r0W, aW для упругого рассеяния 6Li+28Si

На плоскости aV, aW рельеф c “хорошим” минимумом (нет проблем)

Значения aV, aW однозначно соответствуют эффективной усредненной толщине поверхностного слоя двух сталкивающихся ядер.

V0, r0V, aV, W0, r0W, aW для упругого рассеяния 6Li+28Si

На плоскости V0, r0V рельеф овражный (проблема 1)

Значения V0, r0V вместе определяют форму, высоту и положение кулоновского барьера. По-отдельности они неоднозначны. V0 соответствует глубине потенциальной ямы при совмещении сталкивающихся ядер, этого в действительности не происходит из-за несжимаемости ядерной материи.

V0, r0V, aV, W0, r0W, aW для упругого рассеяния 6Li+28Si

На плоскости W0, r0W рельеф овражный (проблема 2)

Значения W0, r0W вместе определяют границы области неупругих процессов и их вероятности. По-отдельности они неоднозначны.

Проблемы 1 и 2 могут привести к неоднозначности определения параметров оптического потенциала и нефизической зависимости их от энергии.

механика. − М. Наука. 1971.
Фрауэнфельдер, Г. Субатомная физика. /Г. Фрауэнфельдер, Э. Хэнли. – М.: Мир. 1979.
Nuclear Reaction Video. База знаний по низкоэнергетическим ядерным реакциям.
http://nrv.jinr.ru/nrv/.
Н.Мотт, Г.Месси. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969,.

наличии вырождения.
Эффект Зеемана.
Эффект Штарка.

в невырожденном случае

Условие применимости поправки к энергии первого порядка

порядка в невырожденном и вырожденном случаях

однородном магнитном поле (без учета спина)

Магнетон Бора

Поправка к энергии по формуле для отсутствия вырождения

Поправка к энергии состояния с орбитальным моментом L по формуле для наличия
вырождения по орбитальному магнитному квантовому числу M = –L,…L

z

Н

Формулы 13

оператор взаимодействия

расщепление уровней в 1 порядке теории возмущений.

однородном магнитном поле (без учета спина)

Простой эффект Зеемана
(без учета спина) для
S=0 в слабом поле или с
учетом спина в сильном поле

Расщепление синглетных энергетических уровней атома
кадмия на 2L+1 подуровней в магнитном поле и переходы,
разрешенные правилами отбора ΔML=0,±1

поляризация π- и σ-компонент зеемановского триплета

Разность энергий между соседними подуровнями одинакова
для всех синглетных (с нулевым спином) уровней

Расщепление в магнитном поле линий спектра на
три компоненты называется простым эффектом
Зеемана

Рис. к формулам 13

расщепление уровней в 1 порядке теории возмущений.

магнитном поле (без учета спина)

Изображение интерференционной картины
на экране компьютера с без магнитного поля. Использован интерферометр Фабри-Перо.

Изображение интерференционной картины
на экране компьютера для простого
“поперечного” эффекта Зеемана

Наблюдения спектров излучения чаще всего производят по нормали к направлению магнитного поля
(“поперечный” эффект Зеемана) или по направлению поля (“продольный” эффект Зеемана).
При продольном эффекте Зеемана видны только смещенные σ-компоненты зеемановского триплета,
которым соответствует циркулярно поляризованный свет. Двум направлениям круговой поляризации
(по и против часовой стрелки) соответствуют два возможных значения проекции момента импульса
фотона на направление движения и два значения проекции спина фотона. При наблюдении поперек поля
эти линии оказываются линейно поляризованными. Вектор напряженности электрического поля E
колеблется перпендикулярно направлению магнитного поля . Несмещенная π-компонента не видна при
наблюдении вдоль поля, а при наблюдении поперек поля линейно поляризована, причем вектор E
колеблется вдоль направления магнитного поля .

электрическом поле

1. Атом водорода: линейный эффект Штарка

2. Сложный атом: квадратичный эффект Штарка

Эффект Штарка:
1. Линейный у атома водорода и водородоподобных атомов (в слабых полях), связан с вырождением уровней энергии по орбитальному квантовому числу в кулоновском поле. Средний дипольный момент таких атомов не равен нулю. Энергия подуровней зависит от главного квантового числа, орбитального квантового числа и модуля магнитного орбитального квантового числа. Например состояние с n =2 расщепляется на 3 подуровня, в общем случае на 2n -1 подуровень.
2. Квадратичный у атома водорода и водородоподобных атомов в сильных полях, у многоэлектронных атомов с нулевым средним дипольным моментом.

Атомная и ядерная физика: учеб. пособие– М.: Физматлит, 2002
Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. − М. Наука. 1971.

и атомов щелочных элементов.

энергии ε

Операторы проекций внутреннего
углового момента (спинового момента)

Движение в электромагнитном поле

Оператор спина

для электрона q = –e<0 qA0= –e2/r

для атома водорода

в центральном поле

Шаровые спиноры – собственные функции

Берестецкий В.Б. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика

целое положительное число

положительные и
отрицательные “частоты”

Формулы 14

Оператор полного момента

выражение

водорода с учетом тонкой структуры

(СИ)

(Гауссова)

Формулы 15

Дирака для водородоподобного атома : энергия основного состояния

Чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Zα < 1, т.е. Z <137.

основного состояния

электростатическом поле eA0=V(r)
с точностью до членов порядка v2/c2

Уравнение Паули

В кулоновском поле V(r)= − e2Z/r

Оператор
контактного
взаимодействия

Поправка к оператору кинетической энергии,
из-за изменения массы частицы при
изменении ее скорости

Оператор спин-орбитального взаимодействия

Формулы 16

для электрона q = –e<0 qA0=V(r)

μ – оператор спинового магнитного момента, s – оператор спина электрона

Формулы 16

серия

резкая серия

Водород ΔE=4*10-5 эВ

Формулы 15

Формулы 15

серия

резкая серия

(je) и ядерного (J) моментов f = je+J, je+J − 1,… | je − J|

ΔE=4*10-5 эВ

ΔE=4*10-5 эВ

приближенное выражение для решения уравнения Дирака

Тонкая структура спектра атома водорода − результат спин-орбитального взаимодействия

J=1/2

J=1

J=1/2

J=1

je=3/2

je=1/2

рис. и формулы 15

Атомная и ядерная физика: учеб. пособие– М.: Физматлит, 2002
Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. − М.: Наука. 1971.
Давыдов А.С. Квантовая механика. − М.: Наука. 1971.
Карякин Н.И., Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. − М.: Высшая школа. 1969.

за каждой из одинаковых частиц и различать их.

Волновая функция системы двух частиц Ψ(x,y) либо антисимметрична ΨΑ(x,y) = – ΨΑ(y,x), либо симметрична ΨS(x,y) = ΨS (y,x)
в силу того, что |Ψ(x,y)|2 = |Ψ(y,x)|2,
Ψ(x,y) = CΨ(y,x)=C2 Ψ(x,y)
и С2=1, С=±1.

антисимметричная
волновая функция

симметричная
волновая функция

x

y

x=y

x

x=y

Квантовая механика. − М. Наука. 1971.

функциями, говорят как о подчиняющихся статистике Ферми-Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся симметричными функциями – как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна или о бозонах.
В релятивистской квантовой механике естественные физические требования автоматически приводят к тому, что частицы со спином ½ подчиняются статистике Ферми. Из этого следует и общее утверждение: все частицы с полуцелым спином являются фермионами, а частицы с целым спином (в том числе со спином 0) – бозонами.

масса и полное число частиц
не сохраняются. Релятивистская теория частиц – это теория с бесконечным числом степеней свободы,
подобная теории поля.
Математический аппарат для описания систем с переменным числом частиц – вторичное квантование, в котором независимыми переменными являются числа заполнения различных состояний частицы.
Оператор квантованной волновой функции (Ψ-оператор) разлагается по полному набору состояний свободной частицы (плоским волнам) с положительными и отрицательными “частотами”. :
.

операторы рождения частиц и античастиц,
операторы уничтожения частиц и античастиц с импульсами р и энергиями ε

В аппарате вторичного квантования гамильтониан системы частиц Н получается из гамильтониана одной частицы Н(1) как интеграл

р

17

системы двух электронов может быть представлена в виде произведения спиновой и координатной частей.
Состоянию со спином S=1 отвечает симметричная (по отношению к перестановке электронов) спиновая волновая функция, следовательно координатная часть является антисимметричной.
Состоянию со спином S=0 отвечает антисимметричная (по отношению к перестановке электронов) спиновая волновая функция, следовательно координатная часть является симметричной.
В состоянии со спином S=1 и антисимметричной координатной волновой функцией электроны располагаются в среднем дальше друг от друга, чем в состоянии со спином S=0 и симметричной координатной волновой функцией. Поэтому при S=1 энергия отталкивания электронов меньше, чем при S=0.
Значение энергии системы зависит от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным. Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как и сам спин) при предельном переходе к классической механике.
Первое правило Хунда: Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным значением S.

осцилляторной потенциальной яме (в состояниях с n=0 и n=1)

S=1

S=0

x

x

y

Антисимметричная координат- ная волновая функция

Симметричная координатная
волновая функция

y

“отталкивание”
электронов

энергия отталкивания меньше у состояния с S=1, в котором
электроны находятся в среднем дальше друг от друга, чем при S=0

Первое правило Хунда:
Наименьшей энергией
обладает терм с наибольшим возможным значением S

x=y

x=y

симметричная спиновая волновая функция ↑↑

антисимметричная спиновая волновая функция ↑↓

в прямоугольной потенциальной яме

x

x

y

y

Антисимметричная

Симметричная

S=1

S=0

прямоугольной потенциальной яме (в состояниях с n=1 и n=2)

S=1

S=0

x

x

y

Антисимметричная координатная
волновая функция

Симметричная координатная
волновая функция

y

энергия отталкивания меньше у состояния с S=1, в котором электроны находятся в среднем дальше друг от друга, чем при S=0

Первое правило Хунда:
Наименьшей энергией
обладает терм с наибольшим возможным значением S

x=y

x=y

электронов): основное состояние 1s2: S=0, терм 1S, мультиплетность 2S+1=1, возбужденные состояния 1s2s:
S=1, терм 3S, мультиплетность 2S+1=3 (ортогелий),
S=0, терм 1S, мультиплетность 2S+1=1 (парагелий). Энергия ортогелия меньше энергии парагелия (вследствие обменного взаимодействия).

3S

1S

Орто- (от др.-греч. ορθός «прямой») и пара- (παρα- «против», «возле», «мимо»)