Системы счисления (Лекция 02)

Июль 30, 2022

Главная
Информатика
Системы счисления (Лекция 02)

Содержание

2. КРУГЛЫЕ ЧИСЛА «Из подъезда вышел человек лет около 49, пройдя по улице метров 147, он зашел
3. КРУГЛЫЕ ЧИСЛА Говоря о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета в том, что деление
4. КРУГЛЫЕ ЧИСЛА (7)10=(10)7 (49)10=(72)10=(100)7 (147)10=(3*72)10=(300)7 (10)10=(13)7 10 - круглое число, потому что оно принято за основание
5. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - СОВОКУПНОСТЬ ПРИЕМОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
6. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ НЕПОЗИЦИОННЫЕ
7. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В позиционных системах счисления вес цифры (т. е. ее вклад в число) зависит
8. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - количество символов (цифр), используемых для записи числа. Обозначение: q
9. ИСТОРИЯ Первоначальный аппарат счета, причина победы десятичной системы счисления в процессе исторического развития
10. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Двенадцатеричная система счисления: Дюжина=двенадцать Гросс=Дюжина дюжин Масса=Дюжина гроссов 1 фут=12 дюймов 1 шиллинг=12
11. ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ? двоичная система счисления реализуется с помощью технических устройств
12. ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ? От этих систем счисления легко перейти
13. ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ Так как основания восьмеричной и шестнадтериной систем счисления
14. ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ ИЛИ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную
15. ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ И ИХ ДЕСЯТИЧНЫЕ , ВОЬМЕРИЧНЫЕ И ДВОИЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО Пример 1: 11 0101 1100 0111 (2)
17. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО Пример 3: В7, А16= 1011 0111,1012 (последняя
18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО Пример 5: 10 101 000 111 2
19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО Пример 7: 4011,258=100 000 001 001,010 1012
20. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО Упражнение: Выполнить перевод, используя тетрады и триады
21. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Теорема. Пусть q - натуральное число, q >1. Тогда любое натуральное число N
22. ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ДРУГИМ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ q1→ q2 Число делится нацело на
23. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Ответ:
24. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ В СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ q: D= a-1 q-1 +
25. ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ДРУГИМ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ q1→ q2 0,312510=0,248 Умножаем дробь на
27. Скачать презентацию

Слайд 2

КРУГЛЫЕ ЧИСЛА
«Из подъезда вышел человек лет около 49, пройдя по улице

метров 147, он зашел в магазин, купил там две семерки яиц и пошел дальше…»
(неточная цитата из книги С.В. Фомина «Системы счисления»)
Когда мы оцениваем какую-то величину — возраст человека, расстояние и т. п. — приблизительно, то мы всегда пользуемся круглыми числами и говорим обычно «метров 150», «человек лет 50» и т. п.
Круглыми числами проще оперировать, чем некруглыми, их легче запомнить, с ними удобней производить арифметические действия. Например, ни для кого не составит труда умножить в уме 100 на 200, если же нужно перемножить два некруглых трехзначных числа, скажем 147 и 343, то далеко не всякий сделает это без карандаша и бумаги.

Слайд 3

КРУГЛЫЕ ЧИСЛА
Говоря о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета

в том, что деление чисел на круглые и некруглые, по существу, условно и что одно и то же число может быть круглым или некруглым в зависимости от того, какой системой записи чисел или, как обычно говорят, какой системой счисления мы пользуемся.
Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим прежде всего, что представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. В этой системе каждое целое положительное число представляется в виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно.
(2014)10 = 2*103+0*102+1*101+4*100

Слайд 4

КРУГЛЫЕ ЧИСЛА
(7)10=(10)7
(49)10=(72)10=(100)7
(147)10=(3*72)10=(300)7
(10)10=(13)7
10 - круглое число, потому что оно принято за основание

системы счисления!

Слайд 5

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - СОВОКУПНОСТЬ ПРИЕМОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Слайд 6

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ

Слайд 7

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В позиционных системах счисления вес цифры (т. е. ее

вклад в число) зависит от ее позиции в записи числа.
Арабская система счисления - позиционная:
9999 – веса цифры «9» различны.
Римская система счисления - непозиционная:
LXXXII - восемьдесят два
(L в любой позиции пятьдесят,
Х в любой позиции десять,
I в любой позиции один).

Слайд 8

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - количество символов (цифр), используемых для

записи числа.
Обозначение: q - основание системы счисления.
Если q =10, то используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
(651)10 = 6*102+5*101+1*100
(651)7 = (6*72+5*71+1*70)10=(336)10

Слайд 9

ИСТОРИЯ
Первоначальный аппарат счета, причина победы десятичной системы счисления в процессе исторического

развития

Слайд 10

ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Двенадцатеричная система счисления: Дюжина=двенадцать Гросс=Дюжина дюжин Масса=Дюжина гроссов 1 фут=12 дюймов 1 шиллинг=12 пенсов 1

год=12 месяцев

Пятеричная система счисления (cчёт на пятки́)
существовала в России. Применялась в народе как минимум до конца XVIII — начала XIX вв.
была распространена у ряда африканских племен

Вавилон: шестидесятеричная система счисления 60=5*12 1 час=60 минут 1 минута=60 секунд 1 градус=60 минут

Двадцатеричная система счисления:
ацтеки и майя;
Западная Европа (кельты): 1 франк = 20 су

Слайд 11

ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ?
двоичная система счисления реализуется

с помощью технических устройств с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы счисления: длинная запись числа

Слайд 12

ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ?
От этих

систем счисления легко перейти к двоичной и обратно;
Эти системы счисления ближе к десятичной и поэтому более удобны для человека;
Запись чисел в этих системах короче, чем в двоичной.

Слайд 13

ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ
Так как основания

восьмеричной и шестнадтериной систем счисления являются степенями двойки (16=24, 8=23), то перевод чисел из этих систем счисления в двоичную и наоборот прост и основан на методах триад и тетрад.
ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ: каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) для восьмеричных чисел или тетрадой (четверкой цифр) для шестнадцатеричных чисел.

Слайд 14

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ ИЛИ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Чтобы перевести число из двоичной

системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями в целой части числа – слева, в дробной части (после запятой) - справа.

Слайд 15

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ И ИХ ДЕСЯТИЧНЫЕ , ВОЬМЕРИЧНЫЕ И ДВОИЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ

Слайд 16

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
Пример 1:
11 0101 1100 0111 (2)

↓ ↓ ↓ ↓
0011 0101 1100 0111 (тетрады)
↓ ↓ ↓ ↓
3 5 C 7 16
110101110001112 = 35С716

Пример 2:
1 0 A 16
↓ ↓ ↓
0001 0000 1010 (тетрады)
↓ ↓ ↓
1 0000 1010 2
10A16 = 1000010102

Слайд 17

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
Пример 3:
В7, А16=

1011 0111,1012 (последняя тетрада неполная)
Пример 4:
11110,12 = 0001 1110,10002=1Е,816

Слайд 18

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
Пример 5:
10 101 000 111 2
↓ ↓ ↓ ↓
010 101 000 111 (триады)
↓ ↓ ↓
2 5 0 7 8
101010001112

= 25078

Пример 6:
1 0 7 8
↓ ↓ ↓
001 000 111 (триады)
↓ ↓ ↓
1 000 111 2
1078 = 10001112

Слайд 19

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
Пример 7:
4011,258=100 000

001 001,010 1012
Пример 8:
10110,12=010 110,1002=26,48

Слайд 20

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
Упражнение:
Выполнить перевод, используя

тетрады и триады
1110110,12 = ?8;
1010001012 = ?16;
40118 = ?2;
СВ7,916 = ?2

Слайд 21

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Теорема. Пусть q - натуральное число, q >1. Тогда

любое натуральное число N можно представить в виде:
N = anqn + an-1qn-1 + ... + a1q1 + a0q0,
где для любого n an∈ {0,1,…,q-1};

q - основание системы счисления;
anan-1…a1a0 - запись натурального числа в системе счисления с основанием q.
В системе счисления с основанием q для записи чисел требуется q цифр, одна из которых ноль.

Слайд 22

ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ДРУГИМ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ q1→

Число делится нацело на q2 , затем полученное частное на q2 , и т. д., пока деление возможно (частное≥ q2 ).
Последнее частное и остатки, начиная с последнего, образуют запись числа в системе счисления с основанием q2 .
Деление выполняется в системе с основанием q1.

Пример: 2010 = 101002
Проверка: 101002 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = 16+4 = 2010

Слайд 23

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Пример:
Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16

Слайд 24

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ В СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ q:
D=

a-1 q-1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m
0,2510=2*(1/10)+5*(1/10)2
Дробь - нормализованная, если a-1≠0

Слайд 25

ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ДРУГИМ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ q1→

0,312510=0,248

Умножаем дробь на q2 , затем дробную часть произведения на q2 , и т. д., пока не будет достигнуто требуемое число знаков или пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Умножение выполняется в системе счисления с основанием q1 .

Системы счисления (Лекция 02)

Содержание

КРУГЛЫЕ ЧИСЛА«Из подъезда вышел человек лет около 49, пройдя по улице

КРУГЛЫЕ ЧИСЛАГоворя о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета

КРУГЛЫЕ ЧИСЛА(7)10=(10)7(49)10=(72)10=(100)7(147)10=(3*72)10=(300)7(10)10=(13)710 - круглое число, потому что оно принято за основание

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯСИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - СОВОКУПНОСТЬ ПРИЕМОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯПОЗИЦИОННЫЕНЕПОЗИЦИОННЫЕ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯВ позиционных системах счисления вес цифры (т. е. ее

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - количество символов (цифр), используемых для

ИСТОРИЯПервоначальный аппарат счета, причина победы десятичной системы счисления в процессе исторического

ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯДвенадцатеричная система счисления: Дюжина=двенадцать Гросс=Дюжина дюжин Масса=Дюжина гроссов 1 фут=12 дюймов 1 шиллинг=12 пенсов 1

ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ?двоичная система счисления реализуется

ПОЧЕМУ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ?От этих

ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ Так как основания

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ ИЛИ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮЧтобы перевести число из двоичной