Двойственность. Дискретная математика

Двойственная функция

Функция
называется двойственной функцией к функции
.

Замечание:

У двойственной функции на противоположных наборах принимаются противоположные значения:
если ,
то

Функция называется
самодвойственной,
если
.

Самодвойственная функция

Пусть - дизъюнкция.
Тогда, двойственной к ней является конъюнкция:

Пример 1

Пусть - конъюнкция
Тогда, двойственной к ней является дизъюнкция:

Пример 2

Пусть - тождество.
Тогда, двойственной к ней является:

Пример 3

Пусть - отрицание.
Тогда, двойственной к ней является:

Пример 4

Замечание:

Тождество и отрицание – самодвойственные функции.

Тогда, двойственной к ней является:

Пример 5

Пусть - константа 0.

Ее переменная x

Тогда, двойственной к ней является:

Пример 6

Пусть - константа 1.

Ее переменная x

Замечание:

Отношение двойственности симметрично.
Если f двойственна к g,
то и g двойственна к

Решение:

Пример 7

Найти двойственную для функции:

Данная функция самодвойственна.

Продолжение примера 7

Замечание:

Вектор-столбец самодвойственной функции антисимметричен относительно своей середины.

Продолжение примера 7

Принцип двойственности

Если в формуле F, представляющей функцию f все знаки

Принцип двойственности для Булевой алгебры

Если в формуле F, представляющей функцию