Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции

1. Понятие матрицы

Определение. Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п

или

Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.
Например, таблица распределения

2. Виды матриц

Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой,

Определение. Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне

Если у диагональной матрицы п-го порядка все диагональные элементы равны единице,

Определение.
Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей, если

Определение.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по

3. Операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы А

Например,
Если , то .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно

2) Сложение матриц

Определение. Суммой матриц А и В одинакового размера называется

Например,
Частный случай: А + О = А.

3) Вычитание матриц

Определение. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие

4) Умножение матриц.

Матрицу А можно умножить на матрицу В только в

т.е.

Элементы матрицы С вычисляются по формуле:
,
т.е. каждый элемент равен

Пример.

Вычислить произведение матриц А ∙ В, где
Найдем размер матрицы-произведения

5) Возведение в степень

Определение. Целой положительной степенью Ат (т>1) только квадратной

Пример.

Возвести матрицу A в квадрат и в куб,
Решение.

6) Транспонирование матрицы -

переход от матрицы А к матрице ,

Например,
если , то .
Свойства операции транспонирования:

4. Свойства операций над матрицами

Многие свойства, присущие операциям над числами,

Однако имеются и специфические свойства матриц.
Если произведение матриц А·В существует, то

2) Если даже произведения А·В и В·А существуют, то они могут

3) Когда оба произведения А·В и В·А существуют и оба –

Частный случай. Коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п-го

4) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

Даны матрицы

Найти: 1) 2А-5В; 2) АВ; 3) ВА; 4) АВ+ВА; 5)