Геометрические приложения двойного интеграла Лекция 8

Август 31, 2022

Главная
Математика
Геометрические приложения двойного интеграла Лекция 8

Содержание

2. Примеры Пример 1. Вычислить где D – трапеция с вершинами А(1;1), В(5;1), С(10;2), D(2;2).
3. Решение Имеем =
4. Примеры Пример 2. Вычислить где D – треугольник с вершинами О(0;0), А(1;1) и В(0;1).
5. Решение Получаем = =
6. Примеры Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле
7. Двойной интеграл в полярных координатах Элемент площади в полярных координатах вычисляют так: =
8. Замена переменных = Выражение = называется двумерным элементом площади в полярных координатах.
9. Замена переменных Для того чтобы в двойном интеграле перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и
10. Вычисление В полярных координатах двойной интеграл всегда вычисляют в таком порядке:
11. Площадь плоской фигуры Площадь плоской фигуры в декартовых координатах вычисляют по формуле:
12. Площадь в полярных координатах Если фигура ограничена кривыми, заданными в полярных координатах, или ее уравнение содержит
13. Вычислить площадь Фигура ограничена кривыми х+у=2 и
14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Перейдем к полярным координатам и изобразим фигуру.
15. Y=x 0 4 x y
16. Решение Площадь области D вычислим в полярных координатах
17. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла Пусть тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующими,
18. Формула для вычисления объема Тогда объем тела равен разности объемов цилиндроидов и вычисляется по формуле:
19. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x+z=4, z=0, , .
21. Вычислить объем тела Запишем объем в виде двойного интеграла:
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Примеры
Пример 1. Вычислить
где D – трапеция с вершинами А(1;1),

В(5;1), С(10;2), D(2;2).

Слайд 3

Решение
Имеем =

Слайд 4

Примеры
Пример 2. Вычислить
где D – треугольник с вершинами О(0;0),

А(1;1) и В(0;1).

Слайд 5

Решение
Получаем
=
=

Слайд 6

Примеры
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

Слайд 7

Двойной интеграл в полярных координатах
Элемент площади в полярных координатах вычисляют

так:
=

Слайд 8

Замена переменных
=
Выражение = называется двумерным элементом площади в полярных

координатах.

Слайд 9

Замена переменных
Для того чтобы в двойном интеграле перейти к полярным

координатам, достаточно координаты x и y положить равными и соответственно, а вместо элемента площади подставить его выражение в полярных координатах.

Слайд 10

Вычисление
В полярных координатах двойной интеграл всегда вычисляют в таком порядке:

Слайд 11

Площадь плоской фигуры
Площадь плоской фигуры в декартовых координатах вычисляют по

формуле:

Слайд 12

Площадь в полярных координатах
Если фигура ограничена кривыми, заданными в полярных

координатах, или ее уравнение содержит двучлен

Слайд 13

Вычислить площадь
Фигура ограничена кривыми х+у=2 и

Слайд 14

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Перейдем к полярным координатам и изобразим

фигуру.

Слайд 15

Y=x
0
4
x
y

Слайд 16

Решение
Площадь области D вычислим в полярных координатах

Слайд 17

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Пусть тело ограничено с

боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху соответственно поверхностями

Слайд 18

Формула для вычисления объема
Тогда объем тела равен разности объемов цилиндроидов

и вычисляется по формуле:

Слайд 19

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x+z=4, z=0, ,

.

Слайд 20

Слайд 21

Вычислить объем тела
Запишем объем в виде двойного интеграла: