Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменных при вычислении определенного интеграла. (Семинар 18)

функции на
отрезке [a,b]. Имеем d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x). Интегрируя, это
равенство в пределах от a до b и учитывая, что du(x)=u’(x)dx и
dv(x)=v’(x)dx находим

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

(1)

Для краткости употребляется выражение

непрерывна на отрезке [a,b].

Ввели новую переменную t, связанную с х соотношением

(2)

непрерывная дифференцируемая функция на отрезке

Если при этом
1) При изменении t от

до

переменная х меняется от a до b, то есть

(3)

2) Сложная функция

и непрерывна на отрезке

Тогда справедлива формула

некоторыми линиями;
вычисление длин дуг линий;
вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений;
вычисление объемов тел вращения;
вычисление поверхностей тел вращения;
вычисление координат центра тяжести плоской фигуры;
вычисление моментов инерции линии, круга, цилиндра и т.д.

Площадь в прямоугольных координатах
Задача 1 Найти площадь S криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией y=f(x), отрезком [a,b] оси ОХ и двумя вертикалями x=a и x=b, если

Для вычисления площади применяется формула

где y=f(x) – данная функция

(1)

данной
непрерывной линией

и двумя лучами

, где

полярные координаты.

-

Для вычисления площади применяется формула

, где

- данная функция

Примеры с решениями

1.

2.

3.

так как точки пересечения линий

определяются при решении системы уравнений

На основании формулы (3) находим

5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом

В виду симметрии можно ограничиться вычислением ¼ площади.

Решение
Отрезок интегрирования

Тогда

самостоятельного решения.
Вычислить интегралы:

1.

2.

3.