Линейная алгебра

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Главы

и аналитической геометрии
Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии
Щипачев В.С. Высшая математика. 7-е изд., стер. - М.: 2005.— 479 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

Дополнительная литература
Барышева В.К., Пахомова Е.Г., Рожкова О.В. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии
Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к решению задач по аналитической геометрии

матриц
ОПР. Матрицей размера m×n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций), в которой есть m строк и n столбцов.
Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Если m ≠ n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n.

Номер строки

Номер столбца

Краткая форма записи

n .
3) Нулевая матрица

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij = bij.

главной диагонали матрицы.
Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 называют элементами побочной диагонали матрицы.
диагональная квадратная матрица :

Единичная матрица

Обозначают: E или En.

E =

или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными :

– квадратная матрица порядка n.

она имеет вид:

7) Квадратную матрицу m × m называют симметрической, если aij= aji, и кососимметрической, если aij = ─ aji.

матриц.
Свойства линейных операции над матрицами аналогичны свойствам линейных операций над числами

Пусть A=(aij) – матрица размера m × n, B=(bij) – матрица размера n × k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B) !!!.
Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m × k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj
Обозначают: A ·B, AB.
Матрицы A и B для которых AB = BA , называются перестановочными или коммутирующими.

.

Только для согласованных матриц!

Внутренние индексы равны!

+

+0·

+(–1)·

10+

(–1)·(–1)

1·1+3·0

1 ·10+3·(–1)

AO = OA = O;
2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц) ;
3) (A + B)C = AC + BC ;
4) C(A + B) = CA + CB .

– дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц

× m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .