Линейные пространства со скалярным произведением

Июль 25, 2022

Главная
Математика
Линейные пространства со скалярным произведением

Содержание

2. § 7. Линейные пространства со скалярным произведением В линейном пространстве L над полем R определено скалярное
3. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством и обозначается Е. Например, в
4. Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве 1. Норма (длина) элемента: Свойства нормы: а) б) в)
5. 2. Метрика (расстояние) элементов: Свойства метрики: а) б) в) 3. Угол между элементами: который определяется по
6. В евклидовом пространстве можно определить ортогональность элементов: Некоторые метрические соотношения в Е 1. Неравенство Коши-Буняковского: 2.
7. Пусть L – линейное пространство над полем С. Отображение называется скалярным произведением в L, если ∀x,y,z∈L,
8. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов Пусть в Un задан произвольный фиксированный базис (ε1, ε2,…,
9. Матрица называется матрицей Грама в базисе (ε1,…, εn) и обозначается G. Матрица Грама базисных элементов (ε1,…,
10. Замечание. В евклидовом пространстве Еn скалярное произведение элементов x и y в произвольном базисе (ε1,…, εn)
11. Ортогональная система элементов и ее свойства Пусть – система элементов унитарного (евклидова) пространства U (E). A
12. Теорема 2. Пусть Замечание. Если элемент b ортогонален каждому элементу из то говорят, что b ортогонален
13. Любой ненулевой элемент a можно нормировать, умножив его на некоторое число λ ≠ 0. Действительно, по
14. Система называется ортонормированной (ОНС), если Матрица Грама векторов ОНС равна единичной матрице. Базис в унитарном (евклидовом)
15. В ОНБ (е1,…, еn) пространства Un скалярное произведение векторов x и y равно В ОНБ евклидова
17. Скачать презентацию

Слайд 2

§ 7. Линейные пространства со скалярным произведением
В линейном пространстве L над

полем R определено скалярное произведение, если любой упорядоченной паре x,y∈L по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число, которое обозначается через (x, y) и при этом выполняются следующие условия (аксиомы скалярного произведения):
1. ∀x, y∈L (x, y) = (у, х);
2. ∀x, y∈L, ∀λ∈R (λx, y) = λ(x, y);
3. ∀ x, y, z ∈ L (x + y, z) = (х, z) + (y, z);
4. ∀x∈ L (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 ⇔ x = θ.

Слайд 3

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством

и обозначается Е.
Например, в котором
трехмерное евклидово пространство геометрических векторов.

Слайд 4

Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве
1. Норма (длина) элемента:
Свойства нормы:
а)
б)

в)

Слайд 5

2. Метрика (расстояние) элементов:
Свойства метрики:
а)
б)
в)
3. Угол между элементами:
который

определяется по формуле

Слайд 6

В евклидовом пространстве можно определить ортогональность элементов:
Некоторые метрические соотношения в

Е
1. Неравенство Коши-Буняковского:
2. Неравенство Минковского:
3. Теорема Пифагора:

Слайд 7

Пусть L – линейное пространство над полем С.
Отображение называется скалярным

произведением в L, если ∀x,y,z∈L, ∀λ∈C:
1.
2.
3.
4.
Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется унитарным пространством и обозначается U.

Слайд 8

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
Пусть в Un задан произвольный

фиксированный базис (ε1, ε2,…, εn) и пусть элементы
Тогда
Обозначив получим

Слайд 9

Матрица называется матрицей Грама в базисе (ε1,…, εn) и обозначается G.
Матрица Грама

базисных элементов (ε1,…, εn) задает скалярное произведение в этом базисе.
Скалярное произведение элементов x и y в базисе (ε1,…, εn) пространства Un можно записать в матричной форме:
где

Слайд 10

Замечание. В евклидовом пространстве Еn скалярное произведение элементов x и y

в произвольном базисе (ε1,…, εn) равно
Теорема о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости системы векторов в евклидовом пространстве: система элементов линейно зависима тогда и только тогда, когда
Следствие. Система элементов линейно независимая тогда и только тогда, когда
Теорема имеет место для унитарного пространства.

Слайд 11

Ортогональная система элементов и ее свойства
Пусть – система элементов унитарного (евклидова)

пространства U (E).
A – ортогональная система элементов тогда и только тогда, когда
Теорема 1. Если – ортогональная система ненулевых элементов, то A – линейно независимая система.

Слайд 12

Теорема 2. Пусть
Замечание. Если элемент b ортогонален каждому элементу из то

говорят, что b ортогонален подпространству L и записывают b ⊥ L.
Нормированность элемента
Элемент a∈U называется нормированным, если его норма

Слайд 13

Любой ненулевой элемент a можно нормировать, умножив его на некоторое число

λ ≠ 0.
Действительно, по условию нормировки элемента:
нормирующий коэффициент.

Слайд 14

Система называется ортонормированной (ОНС), если
Матрица Грама векторов ОНС равна единичной

матрице.
Базис в унитарном (евклидовом) пространстве называется ортонормированным (ОНБ), если его элементы образуют ортонормированную систему.

Слайд 15

В ОНБ (е1,…, еn) пространства Un скалярное произведение векторов x и y

равно
В ОНБ евклидова пространства En скалярное произведение векторов x и y равно

Линейные пространства со скалярным произведением

Содержание

§ 7. Линейные пространства со скалярным произведениемВ линейном пространстве L над

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством

Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве1. Норма (длина) элемента: Свойства нормы:а) б)

2. Метрика (расстояние) элементов: Свойства метрики:а) б) в) 3. Угол между элементами: который

В евклидовом пространстве можно определить ортогональность элементов: Некоторые метрические соотношения в

Пусть L – линейное пространство над полем С. Отображение называется скалярным

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторовПусть в Un задан произвольный

Матрица называется матрицей Грама в базисе (ε1,…, εn) и обозначается G.Матрица Грама