Производная и ее применение в алгебре

в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=

касательной.

f(xo)

Касательная

к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(хо).

х

у

хо

y = kx + b

α

y = f(x)

0

1 + n∆x

(3)

f(xo)

Алгоритм составления уравнения касательной

1о Находим значение функции в точке хо: f(xo).
2о Дифференцируем функцию: f′(x).
3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo).
4о Подставляем эти данные в общее уравнения
касательной: y = f′(xo)(x – xo) + f(xo).

такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo).

Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x).

f′(x)

f(x)

+

–

x

max

f(xо) – максимум функции

существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

функция
f возрастает на этом промежутке.
2) Если f′(x) < 0 внутри промежутка I, то функция
f убывает на этом промежутке.
3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция
f постоянна на этом промежутке.

Примеры:

1о f(x) = 3x3 + 4x
f ′(x) = 9x2 + 4 > 0 ⇒ f(x) возрастает при х∈R

2о f(x) = – 2x5 – 6x
f ′(x) = – 10x4 – 6 < 0 ⇒ f(x) убывает при х∈R

3о f(x) = 12
f ′(x) = 0 ⇒ f(x) постоянна при х∈R

критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:

5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3].
б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).

f′(x)

x2

f(x)

–

+

x

+

–

x1

x3

критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:

5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума.
б) f(x1); f(x3) – максимумы функции;
f(x2) – минимум функции.

f′(x)

x2

f(x)

–

+

x

+

–

x1

x3