Методы анализа и расчета электронных схем

ряд последовательных этапов, представленных обобщенной диаграммой

электронной цепи отражает структурные
свойства, то есть состав электронных компонентов и связи между ними.
При формировании топологических моделей применяют допущения,
обусловленные постановкой задачи моделирования, рассматриваемыми
режимами работы и требуемой точностью.
Наиболее распространены следующие формы представления
топологических моделей

топологическую модель,
в которой реальные электронные компоненты представлены
электрическими эквивалентными схемами.
Для аналоговых электронных цепей формируются отдельные схемы замещения в соответствии с диаграммой

аналоговых электронных схем наибольшее значение
имеют схемы замещения по переменному току.

и С4 – блокировочные конденсаторы
С2 и С3 – разделительные конденсаторы

Схема замещения для полного диапазона частот

Схема замещения для рабочего диапазона частот

Конденсаторы на рабочих частотах
обладают малым сопротивлением

отображается с помощью полюсных графов электронных схем.
Граф G(Х,А,Г) представляет собой совокупность непустого множества вершин X (X≠Ø), не пересекающегося с ним множества ребер A (A∩X≠Ø) и закона Г, устанавливающего взаимосвязь между элементами множества вершин с помощью элементов множества ребер. Аналитически закон Г описывается логическим высказыванием следующего вида

связывающих их линий произвольной кривизны, взаимно однозначно соответствующих ребрам графа.
При необходимости учета направлений связей между вершинами графа соответствующим ребрам приписываются направления, отмечаемые стрелками, а сами ребра называют дугами. Графы, содержащие только ненаправленные ребра, называют ненаправленными графами. Графы, включающие только направленные ребра (дуги), называют направленными или ориентированными графами, а также орграфами. Графы, содержащие как направленные, так и ненаправленные ребра, носят название смешанных.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

схемы, ребра – ветвям схемы, а в качестве закона Г выступает порядок связей ветвей схемы между собой. Ребрам полюсного графа приписывают направления, совпадающие с положительными направлениями токов соответствующих ветвей. При этом в ветви, содержащей источник э.д.с. положительное направление тока следует выбирать противоположным направлению э.д.с. Последовательно и параллельно включенные ветви схемы в полюсном графе могут быть объединены в эквивалентные дуги.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

тока J и сопротивление R3 представлены одной эквивалентной дугой, направление которой совпадает с направлением задающего тока J.

инцидентна ребру, ребро инцидентно вершине. В орграфах различают положительную инцидентность (дуга исходит из вершины) и отрицательную инцидентность (дуга заходит в вершину). Число ребер, инцидентных i-ой вершине, называют степенью вершины tii, при этом петля учитывается дважды. Вершина со степенью, равной 1, называется концевой или висячей.
Граничные вершины какого-либо ребра называют смежными. Количество ребер, соединяющих смежные вершины i и j, называют взаимной степенью tij этих вершин.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

вершине 2 – дуги II, IV, V и т.д.. Смежными вершинами являются 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3 и т.д.. Степени всех вершин графа равны 3, а взаимные степени – равны 1.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
2.2. Топологические модели электронных схем
Полюсные графы

Полюсный граф

простых цепей в полюсном графе являются последовательности ребер I, II (длина цепи равна 2); I,V,IV (длина цепи равна 3); II,IV,VI (длина цепи равна 3) и т.д.
Замкнутая цепь называется циклом. Простыми циклами полюсного графа являются последовательности ребер I, V, II (длина цикла равна 3); I,V,IV, III (длина цикла равна 4) и т.д.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

Полюсный граф

путем. Замкнутый путь называется контуром.
Примером простых путей в полюсном графе являются последовательности дуг I, VI (длина пути равна 2); II,V (длина пути равна 2); III (длина пути равна 1) и т.д.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

Полюсный граф

называется суграфом.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
2.2. Топологические модели электронных схем
Полюсные графы

Исходный граф

Суграф

любая пара вершин которого связана, называют связным графом. В противном случае граф называется несвязным. Несвязный граф представляет собой совокупность отдельных частей (подграфов), называемых компонентами. Любая связная совокупность ребер графа, не содержащая контуров, вместе с инцидентными им вершинами образует дерево графа. Если такое дерево является суграфом, то оно называется покрывающим деревом или остовом. Ребра дерева называют ветвями. Ребра графа, не входящие в покрывающее дерево (остов), образуют дополнение дерева и называются хордами. Дерево, содержащее все вершины исходного графа, называют фундаментальным деревом этого графа. При этом ребра фундаментального дерева в общем случае не совпадают с ребрами исходного графа. Частным случаем фундаментального дерева является покрывающее дерево графа.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Полюсные графы

5 6 7 8 9 10 11 12 13

Полюсный граф

Сокращенная структурная матрица

граф

Система независимых сечений

граф

Система независимых контуров

сводить к ограниченному числу идеализированных схемных компонентов.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Математические модели компонентов электронных схем

быть представлены эквивалентными схемами, состоящими из идеальных схемных компонентов. В зависимости от режима работы электронной схемы и задачи исследования, эквивалентные схемы можно подразделить на следующие группы:
низкочастотные линейные малосигнальные для квазилинейного режима на низких частотах;
нелинейные постоянного тока для статического режима и больших низкочастотных сигналов;
высокочастотные линейные малосигнальные для квазилинейного режима на высоких частотах;
нелинейные универсальные для переходных режимов при больших сигналах.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Эквивалентные схемы электронных компонентов

наилучшего компромисса между двумя противоречивыми требованиями: достаточно высокой степенью точности отображения реальных процессов и предельной простоты модели. Использование при анализе электронных схем универсальных эквивалентных схем, снимает этот вопрос, но при этом решение сравнительно простых задач неоправданно усложняется. Поэтому представление электронных компонентов их эквивалентными схемами различных уровней является оправданным.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Эквивалентные схемы электронных компонентов

компоненты, отражающие основные физические параметры (для резистора – сопротивление, для конденсатора – емкость, для катушки индуктивности - индуктивность) и, при необходимости, паразитные параметры (индуктивности выводов, межвитковые емкости, омическое сопротивление обмотки катушки индуктивности, сопротивление утечки и т.д.).

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Эквивалентные схемы пассивных двухполюсников

а также его динамические свойства при прямом и обратном смещении.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Эквивалентные схемы электронных компонентов

Параметры эквивалентной схемы :
Ipn – источник тока, моделирующий ВАХ идеального p-n-перехода;
Сд – нелинейная ёмкость перехода;
Rут – сопротивление утечки;
rБ – сопротивление базы диода;
Upn – напряжение на p-n-переходе;
UБ – напряжение на диоде.

эквивалентной схеме полупроводникового диода
соответствуют уравнения :

обратный тепловой ток перехода (тепловой ток);
φT – фактическое значение температурного потенциала;
CБ и Cдифф – барьерная и диффузионная емкости p-n-перехода;
СБ0 – барьерная емкость при Upn=0;
φк – контактная разность потенциалов;
m – параметр аппроксимации вольт-фарадной характеристики барьерной емкости;
τ – эффективное время жизни неосновных носителей в базе диода.

Эффективное время жизни τ в полупроводниковых диодах обычно составляет (0,1÷0,2)мкс, но в ряде случаев может быть на порядок больше или меньше этих значений. Значение контактной разности потенциалов у кремниевых полупроводниковых диодов при температуре T0=300K достигает (0,7÷0,8)В.

В уравнениях нелинейной универсальной эквивалентной схемы
полупроводникового диода :

эквивалентная схема стабилитрона

Источник тока Iст моделирует вольт-амперную характеристику

тока Iст является кусочно-непрерывной функцией от напряжения на стабилитроне. В зависимости от соотношения между напряжением стабилизации Eст и падением напряжения на стабилитроне Uст ВАХ стабилитрона разбивается на три области:
область прямого смещения (Uст ≥ 0);
предпробойная область (–Eст ≤ Uст < 0);
область пробоя (–Uст ≤ –Eст).

тепловой ток перехода (тепловой ток);
φT – тепературный потенциал
Rпроб = tgα – дифференциальное сопротивление в области пробоя
Iст.min – минимальный ток стабилизации стабилитрона
A и В – коэффициенты аппроксимации.

В эквивалентной схеме стабилитрона :

Параметры Сдифф, Сб, Сб0, φк, m, τ имеют такой же смысл, что и для модели диода.

эквивалентная схема стабилитрона

дифференциальное сопротивление p-n-перехода стабилитрона;
ΔEст – автономный источник напряжения, который моделирует
температурное изменение напряжения на стабилитроне.

В эквивалентной схеме стабилитрона :

схема биполярного транзистора, соответствующая статической инжекционной модели Эберса-Молла

эмиттерный и коллекторный переходы;
Ipn,э - это ток при заданном напряжении Upn,э протекающий через эмиттерный переход при закороченном коллекторном переходе;
Ipn,к - это ток при заданном напряжении Upn,к, протекающий через коллекторный переход при закороченном эмиттерном переходе;
связь переходов через область базы показана с помощью зависимых источников тока αIpn,э и αIIpn,э управляемых токами Ipn,э и Ipn,к соответственно;
α - это интегральный коэффициент передачи тока эмиттера для большого сигнала при нормальном включении транзистора;
αI - это интегральный коэффициент передачи тока коллектора для большого сигнала при инверсном включении транзистора;
сопротивления rБ, rк′, rэ′ представляют собой объемные и контактные сопротивления областей базы, коллектора и эмиттера.

В нелинейной эквивалентной схеме биполярного транзистора :

эквивалентной схеме биполярного транзистора :

Iэбк, Iкбк - начальные токи эмиттерного и коллекторного переходов;
mэ, mк - эмпирические коэффициенты, характеризующие отклонение граничных условий от условий Шокли при высоких уровнях инжекции и учитывающие влияние токов утечки, канальных токов и токов рекомбинации-генерации.
Для кремниевых транзисторов наиболее вероятные значения mэ и mк лежат в пределах 1,2÷2, для германиевых транзисторов – в пределах 1,2÷1,5.

первом приближении, что mэ=mк=m, и пренебрегая объемными сопротивлениями областей транзистора, модель Эберса-Молла можно представить системой уравнений:

определения параметров модели уравнения Эберса-Молла целесообразно представить через обратные токи переходов транзистора:

эквивалентная схема биполярного транзистора

биполярного транзистора :

Сб0,э – барьерные емкости эмиттерного и коллекторного переходов при Upn,э=0 и Upn,к=0 соответственно
φк,э и φк,к – контактные разности потенциалов эмиттерного и коллекторного переходов;
n – параметр аппроксимации вольт-фарадной характеристики барьерной емкости.

Диффузионные емкости биполярного транзистора :

λ - поправочный коэффициент;
τN и τI - эффективное время полета неосновных носителей через область базы
при нормальном и инверсном включении транзистора соответственно.

конечного времени пролета носителей заряда через базу и через область объемного заряда коллекторного перехода в эквивалентной схеме Эберса-Молла используются динамические коэффициенты передачи токов эмиттера и коллектора, представленные операторными изображениями α(p), αI(p).

Наиболее простая аппроксимация коэффициента передачи тока эмиттера имеет вид:

малосигнальная эквивалентная схема
биполярного транзистора

базы;
Lб – диффузионная длина неосновных носителей заряда в базе;
Nб – концентрация примесей в базе;
γ – коэффициент инженкции
Емкости переходов составляют десятки и даже сотни пФ и обычно приводятся в справочниках.

схемы электронных компонентов

На рис. 2.22 приведена упрощенная линейная эквивалентная схема, соответствующая включению транзистора с общим эмиттером.

Рис. 2.22. Линейная эквивалентная схема биполярного транзистора, включенного с общим эмиттером

схемы электронных компонентов

Параметры эквивалентной схемы рис. 2.22 определяются соотношениями

схемы электронных компонентов

Для коэффициента передачи тока базы чаще всего используют операторное изображение вида

где
β – статический коэффициент передачи тока базы
– постоянная времени коэффициента передачи тока базы.

схемы электронных компонентов

Амплитудно-частотная, фазо-частотная и переходная характеристики, соответствующие операторному изображению (2.35), имеют вид:

схемы электронных компонентов

где
- предельная частота коэффициента передачи тока базы, на которой амплитуда гармонического тока коллектора в раз меньше, чем амплитуда гармонического тока базы, а отставание по фазе тока коллектора от тока базы составляет 45 эл. град
Из выражений для fβ и τβ следует, что коэффициент передачи тока базы обладает худшими частотными и переходными характеристиками, чем коэффициент передачи тока эмиттера.

схемы электронных компонентов

Для анализа работы биполярных транзисторов в режиме малого сигнала широко используются линейные эквивалентные схемы биполярного транзистора как линейного проходного четырехполюсника в системах z-, y- и h-параметров. Параметры таких эквивалентных схем получают на основании измерения напряжений и токов на внешних полюсах транзистора, не рассматривая при этом внутренние физические процессы.

схемы электронных компонентов

В системе z-параметров основными величинами являются приращения входного и выходного токов, а второстепенными – приращения входного и выходного напряжений, связанные уравнениями

где

схемы электронных компонентов

Параметры z11, z21 представляет собой входное сопротивление и сопротивление прямой передачи транзистора, определяемые при условии постоянства выходного тока. Параметры z12, z22 представляет собой сопротивление обратной связи и выходное сопротивление транзистора, определяемые при постоянстве входного тока. Постоянство тока в ветви является режимом холостого хода для переменных сигналов, так как эквивалентно разрыву ветви для переменной составляющей тока.
Система z-параметров удобна для анализа и расчета электронных схем. Кроме того, зависимость z-параметров транзистора от режима работы и температуры просто выражается аналитически. Недостатком системы z-параметров является трудность определения параметров z11 и z21, обусловленная сложностью обеспечения режима холостого хода по переменному току на выходе вследствие большого выходного сопротивления транзистора.

схемы электронных компонентов

Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе z-параметров представлена на рис. 2.23

Рис. 2.23. Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе z-параметров

схемы электронных компонентов

В системе y-параметров основными величинами являются приращения входного и выходного напряжений, а второстепенными – приращения входного и выходного токов, связанные уравнениями

где

схемы электронных компонентов

Параметры y11, y21 представляют собой входную проводимость и проводимость прямой передачи транзистора, определяемые при постоянном выходном напряжении. Параметры у12, у22 представляет собой проводимость обратной связи транзистора и выходную проводимость, определяемые при постоянстве входного напряжения. Постоянство напряжения является режимом короткого замыкания для переменных сигналов, так как эквивалентно закорачиванию соответствующего участка цепи.
Недостатком системы y-параметров является малая точность измерения параметров y12 и y22, что объясняется трудностью обеспечения режима короткого замыкания по переменному току на входе из-за малого входного сопротивления транзистора. Кроме того, y-параметры имеют сложную зависимость от температуры, режима и частоты.

схемы электронных компонентов

Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе y-параметров представлена на рис. 2.24.

Рис. 2.24. Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе y-параметров

схемы электронных компонентов

В системе h-параметров основными величинами являются приращения входного тока и выходного напряжения, а второстепенными – приращения входного напряжения и выходного тока, связанные уравнениями

где

схемы электронных компонентов

Система h-параметров является смешанной (гибридной), так как h-параметры имеют разную размерность: имеет размерность h11 сопротивления, h22 - размерность проводимости, а параметры h12 и h21 являются безразмерными.
Параметр h11 представляет собой входное сопротивление транзистора, а h21 - коэффициент передачи тока, определяемые при условии постоянства выходного напряжения. Параметр h12 представляет собой коэффициент обратной связи по напряжению, а h22 - выходную проводимость транзистора, определяемые при постоянном входном токе.
Основным достоинством системы h-параметров является точность измерения, так как необходимые для измерения параметров режимы холостого хода на входе и короткого замыкания на выходе легко осуществимы. По этой причине система h-параметров нашла широкое практическое применение. Вместе с тем система h-параметров обладает недостатком, связанным со сложностью расчетных соотношений.

схемы электронных компонентов

Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе h-параметров представлена на рис. 2.25.

Рис. 2.25. Эквивалентная схема биполярного транзистора как проходного четырехполюсника с короткозамкнутой стороной в системе h-параметров

схемы электронных компонентов

Каждая из систем параметров однозначно определяет электрические свойства транзисторов в режиме малого сигнала и является одной из форм записи зависимостей между переменными составляющими токов и напряжений. Переход от одной систем параметров к другой достаточно прост. Для этого необходимо уравнения исходной системы решить относительно переменных, являющихся второстепенными в системе, к которой осуществляется переход. Полученные коэффициенты при токах и напряжениях определяют формулы пересчета (таблица 2.1).

схемы электронных компонентов

Таблица 2.1 – Взаимосвязь параметров проходного четырехполюсника

схемы электронных компонентов

Значения параметров транзистора, представленного в виде проходного четырехполюсника, зависят от схемы его включения, поэтому в обозначениях параметров цифровые индексы дополняют буквами, которые обозначают вывод транзистора, соответствующий короткозамкнутой стороне четырехполюсника: “э” для схемы включения с общим эмиттером, “б” для схемы включения с общей базой, “к” для схемы включения с общим коллектором. Для перехода от параметров одной схемы включения транзистора, к параметрам другой схемы включения следует переменные исходной схемы включения выразить через переменные, которые для искомой схемы включения являются входными и выходными. Например, соотношения, связывающие h-параметры транзистора, включенного с общей базой, с h-параметрами транзистора, включенного с общим эмиттером, приведены в таблице 2.2.

схемы электронных компонентов

Таблица 2.2 – Связь h-параметров схем с общей базой и общим эмиттером

схемы электронных компонентов

Параметры транзистора как проходного четырехполюсника можно выразить через дифференциальные параметры физических линейных эквивалентных схем. Соответствующие формулы пересчета приведены в таблице 2.3.

схемы электронных компонентов

Таблица 2.3 – Связь параметров транзистора с элементами низкочастотной эквивалентной схемы

схемы электронных компонентов

Эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом и каналом n-типа, наиболее полно отражающая физические процессы в полевом транзисторе, представлена на рис. 2.26.

схемы электронных компонентов

Рис. 2.26. Нелинейная универсальная эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом

схемы электронных компонентов

Эквивалентная схема содержит:
нелинейный источник тока Iкан., который описывает статические вольт-амперные характеристики транзистора;
сопротивления rс и rи между рабочей областью транзистора и выводами стока и истока;
диоды VD1, VD2, соответствующие участкам управляющего перехода затвор-сток и затвор-исток;
нелинейные емкости между затвором и истоком и между затвором и стоком.

схемы электронных компонентов

Для малосигнального режима работы полевого транзистора эквивалентная схема рис. 2.26 упрощается и принимает вид рис. 2.27.

Рис. 2.27. Линейная малосигнальная эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом

схемы электронных компонентов

Поскольку при работе транзистора управляющий переход смещен в обратном направлении, диоды VD1 и VD2 представлены сопротивлениями Rзи, Rзс соответствующих участков закрытого управляющего перехода.
Источник тока Iкан. для малых приращений токов и напряжений представлен линейным зависимым источником тока SU'зи с параллельным внутренним сопротивлением Rси. Крутизна S передаточной характеристики и внутреннее сопротивление Rси канала определяются выражениями:

схемы электронных компонентов

Где
– начальная крутизна;
L0 – технологическая длина канала;
Nд– концентрация донорной примеси в канале

схемы электронных компонентов

Нелинейные емкости , заменены соответствующими постоянными усредненными емкостями Cзи и Cзс.
Так как со­противления Rзи, Rзс в кремниевых полевых транзисторах велики (десятки – сотни МОм), их в большинстве случаев можно не учитывать.
Сопротивления rи и rс могут иметь значительную величину (до ста Ом и более) и оказывают существенное влияние на параметры транзистора. Наличие сопротивления rи уменьшает крутизну, сужает полосу рабочих частот, увеличивает напряжение насыщения и тепловые потери. Влияние сопротивления rс проявляется в увеличении напряжения насыщения и тепловых потерь. Тем не менее, сопротивления rи, rс могут быть исключены из эквивалентной схемы, а их влияние отражено введением эффективной крутизны S* и эффективного дифференциального сопротивления канала R*си.

схемы электронных компонентов

В первом приближении без учета сопротивлений Rзи, Rзс и емкостей Cзи, Cзи при Uси=const можно записать:

(2.6)

а при Uзи=const

(2.7)

схемы электронных компонентов

Из (2.6) следует

а из (2.7):

схемы электронных компонентов

В результате малосигнальная эквивалентная схема принимает вид рис. 2.28

Рис. 2.28. Упрощенная малосигнальная эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом

схемы электронных компонентов

При анализе и расчете электронных схем, содержащих МДП-транзисторы можно использовать эквивалентные схемы МДП-транзисторов, аналогичные рассмотренным эквивалентным схемам полевых транзисторов с управляющим p-n-переходом.
В практике анализа и расчета электронных схем, как правило, применяют макромодели операционных усилителей. Высокочастотная эквивалентная схема операционного усилителя, соответствующая работе операционного усилителя в линейном режиме, представлена на рис. 2.29.

схемы электронных компонентов

Рис. 2.29. Высокочастотная линейная эквивалентная схема операционного усилителя

схемы электронных компонентов

Параметры высокочастотной эквивалентной схемы операционного усилителя определяются выражениями:

схемы электронных компонентов

где
k - коэффициент усиления операционного усилителя;
τОУ - постоянная времени операционного усилителя;
Rд - входное сопротивление для входного дифференциального сигнала;
Rсф.1, Rсф.2 - входные сопротивления для входных синфазных сигналов;
Rвых - выходное сопротивление;
Cд, Cсф.1, Cсф.2, Cвых - паразитные емкости операционного усилителя.
Полагая в эквивалентной схемы рис. 2.29 и не учитывая паразитные емкости, можно получить низкочастотную линейную эквивалентную схему операционного усилителя.

уравнения

В зависимости от характера компонентов схемы ребра ее графа можно разделить на следующие типы:
Ребра пассивных двухполюсников (сопротивлений, емкостей, индуктивностей);
Ребра полюсных графов многополюсных компонентов;
Ребра независимых источников (напряжения и тока);
Ребра зависимых источников (напряжения и тока);
Управляющие ребра (по напряжению и току) зависимых источников;
Ребра искомых токов и напряжений.

уравнения

Каждому из ребер соответствует уравнение двухполюсного или многополюсного компонента (компонентное уравнение). В зависимости от вида компонентных уравнений ребра разбивают на два подмножества: y-ребра (уравнения выражают токи) и z-ребра (уравнения выражают напряжения). Ребра, которые допускают выражения как для токов, так и для напряжений, называют взаимно определенными. Отнесение ребра к одному из двух подмножеств зависит от его характера, связи с другими ребрами и процедуры формирования уравнений схемы. В общем случае токи y-ребер и напряжения z-ребер могут зависеть от токов и напряжений любых ребер графа, а также от задающих токов и напряжений.

уравнения

Поэтому компонентные уравнения ребер графа электронной схемы можно записать в виде:

где
, - векторы токов y-ребер и z-ребер;
, - векторы напряжений y-ребер и z-ребер;
- вектор задающих токов;
- вектор задающих э.д.с..

(2.8)

уравнения

Уравнения (2.8) можно объединить в одно обобщенное компонентное уравнение:

или

где X' и X'' выражаются через векторы токов и напряжений y- и z-ребер:

(2.10)

(2.9)

уравнения

Обобщенные компонентные матрицы V, V' и задающий вектор F имеют вид:

(2.11)

уравнения

Элементами компонентных матриц являются параметры компонентов схемы. При этом в Yв входят проводимости y-двухполюсников и управляющие проводимости зависимых источников тока, управляемых напряжениями y-ребер, а в Zв – сопротивления z-двухполюсников и управляющие сопротивления зависимых источников напряжения, управляемых токами z-ребер. Элементами остальных субматриц являются соответствующие управляющие параметры зависимых источников.

уравнения

Обобщенное компонентное уравнение (2.9) можно упростить, если предположить, что y-ребра могут быть управляющими только по напряжению, а z-ребра – управляющими только по току. Тогда и (2.9) приводится к виду

(2.12)

уравнения

Это уравнение можно распространить и на общий случай, вводя при необходимости дополнительные управляющие ребра. Последовательно с управляющими по току y-ребрами вводят короткозамкнутые управляющие по току z-ребра, а параллельно с управляющими по напряжению z-ребрами – разомкнутые управляющие по напряжению y-ребра. Условные изображения управляющих ребер представлены на рис. 2.30.

а) б)
Рис. 2.30. Условные изображения разомкнутого (а) и короткозамкнутого (б) ребер полюсных графов

уравнения

Компонентные уравнения управляющих ребер имеют вид:

(2.13)

Специальные управляющие ребра вводят и в тех случаях, если управляющий ток или напряжение не совпадают с током или напряжением какого-либо ребра графа или если целесообразно исключить из числа управляющих какой-либо класс ребер (например, ребра реактивных двухполюсников или независимых источников).