Наилучшее приближение функций, заданных таблично. Сглаживание функций. Метод наименьших квадратов

Август 3, 2022

Главная
Разное
Наилучшее приближение функций, заданных таблично. Сглаживание функций. Метод наименьших квадратов

Содержание

2. Таблично заданная функция Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами. (табл.
3. Таблично заданная функция Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами. (рис.
4. Таблично заданная функция Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами. (табл.
5. Аппроксимация таблично заданных функций (приближение функций, заданных таблично) Таблица - дискретное множество значений аргумента (xi) поставленое
6. Аппроксимация Uпр = 23,85δ ⋅ S + 7,85δ ⋅ S (рис.1)
7. Критерии аппроксимации Метод наименьших квадратов. Мерой близости аппроксимирующей функции f(x) к табличной является величина:00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Наилучшее приближение
8. Сглаживание функций - сглаживающий сплайн. Сглаживающий сплайн - это метод сглаживания аппроксимации кривой набора зашумлённых исходных
9. Примечания: параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью» аппроксимирующей функции. Интеграл вычисляется по
10. Метод наименьших квадратов Это один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений,
11. Основной принцип метода наименьших квадратов При замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу
12. Приближение МНК Так же с помощью МНК из экспериментальных данных сделать приблизительный расчет (рисунок 2): (рис.
13. Отклонение точки от прямой
14. Как учесть отклонение всех точек? В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина: Суммарное отклонение всех точек
15. Метод наименьших квадратов Пусть нам известно оптимальное значение a. Тогда S зависит только от b. Для
16. Суть метода наименьших квадратов Рассмотрим применение МНК в случае применения линейного полинома: φ(х) = y =
17. Суть метода наименьших квадратов Из уравнения (1) следует, что (2) Чем меньше числа δi по абсолютной
18. Суть метода наименьших квадратов Условия минимума SS будут: (5) (6) Уравнения (6) и (7) можно записать
19. Пример Пример. В результате эксперимента получены значения x и y, сведенные в таблицу 2: Найти аппроксимирующую
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

расстояния между электродами.

(табл. 1)

Слайд 3

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

расстояния между электродами.

(рис. 1)

Слайд 4

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

расстояния между электродами.

(табл. 2)

Слайд 5

Аппроксимация таблично заданных функций (приближение функций, заданных таблично)
Таблица - дискретное множество

значений аргумента (xi) поставленое в соответствии с множеством значений функции (yi), yi = f (xi) , i = 0, 1, 2, …, n.
На практике часто нужно знать значения y
при других значениях х.
Аппроксимация (приближение) – замена данной функции приближенной (аппроксимирующей) функцией так, чтобы отклонение в заданном диапазоне изменения х было минимальным.

Слайд 6

Аппроксимация
Uпр = 23,85δ ⋅ S + 7,85δ ⋅ S
(рис.1)

Слайд 7

Критерии аппроксимации
Метод наименьших квадратов. Мерой близости аппроксимирующей функции f(x) к табличной

является величина:00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Наилучшее приближение – при минимуме S.
Равномерное приближение. Более жесткое требование близости аппроксимирующей функции к табличной: во всех точках отклонение аппроксимирующей функции f(x)от табличной должно быть меньше заданной величины.

Слайд 8

Сглаживание функций - сглаживающий сплайн.
Сглаживающий сплайн - это метод сглаживания аппроксимации кривой набора

зашумлённых исходных данных с использованием сплайн-функций.
Пусть последовательность наблюдений, порождённых выражением . Приближение сглаживающими сплайнами функции
определяется как функция (в классе дважды дифференцируемых функций), минимизирующая:

Слайд 9

Примечания:
параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью»

аппроксимирующей функции.
Интеграл вычисляется по всему диапазону .
При (нет сглаживания), сглаживающий сплайн превращается в интерполяционный сплайн.
При (бесконечное сглаживание), штраф за неровность становится преобладающим и аппроксимация превращается в линейную МНК аппроксимацию.
Наиболее часто в современной статистической литературе используется штраф за неровность на основе второй производной, однако метод может быть легко адаптирован к использованию штрафов на основе других производных.
В ранней литературе, с равноудалёнными , для вычисления штрафа вместо производной использовались конечные разности второго и третьего порядка.

Слайд 10

Метод наименьших квадратов
Это один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных

величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Слайд 11

Основной принцип метода наименьших квадратов
При замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным

значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели).

Слайд 12

Приближение
МНК
Так же с помощью МНК из экспериментальных данных сделать приблизительный расчет

(рисунок 2):

(рис. 2)

Слайд 13

Отклонение точки от прямой

Слайд 14

Как учесть отклонение всех точек?
В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина:
Суммарное

отклонение всех точек

Слайд 15

Метод наименьших квадратов
Пусть нам известно оптимальное значение a. Тогда S зависит

только от b. Для того, чтобы найти минимум, надо приравнять производную к нулю.

Слайд 16

Суть метода наименьших квадратов
Рассмотрим применение МНК в случае применения линейного полинома:
φ(х)

= y = a + bx (1)
Пусть мы нашли такую прямую (рис. 3)

Обозначим через δi расстояние точки xi от этой прямой, измеренное параллельно оси y.

(рис. 3)

Слайд 17

Суть метода наименьших квадратов
Из уравнения (1) следует, что
(2)
Чем меньше числа δi

по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (1). В качестве характеристики точности подбора прямой (1) можно принять сумму квадратов:
(3)
Покажем, как можно подобрать прямую (1) так, чтобы сумма квадратов SS была минимальной.
Из уравнений (2) и (3) получаем:
(4)

Слайд 18

Суть метода наименьших квадратов
Условия минимума SS будут:
(5)
(6)
Уравнения (6) и (7)

можно записать в таком виде:
(7)
(8)

Из уравнений (7) и (8) определяют неизвестные коэффициенты а и b:

Слайд 19

Пример
Пример.
В результате эксперимента получены значения x и y, сведенные в таблицу

2:
Найти аппроксимирующую функцию (1) по методу наименьших квадратов.
Решение: Определяем(табл.3):
Записываем уравнения (8) и (9): 21a+91b=179,1, 6a+21b=46,3, отсюда находим: a=4,3; b=0,98.
Итоговая формула: y(x) = 4,3 + 0,98x

(табл. 2)

(табл.3)

Наилучшее приближение функций, заданных таблично. Сглаживание функций. Метод наименьших квадратов

Содержание

Таблично заданная функцияЗависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Таблично заданная функцияЗависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Таблично заданная функцияЗависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Аппроксимация таблично заданных функций (приближение функций, заданных таблично)Таблица - дискретное множество

АппроксимацияUпр = 23,85δ ⋅ S + 7,85δ ⋅ S(рис.1)

Критерии аппроксимацииМетод наименьших квадратов. Мерой близости аппроксимирующей функции f(x) к табличной

Сглаживание функций - сглаживающий сплайн.Сглаживающий сплайн - это метод сглаживания аппроксимации кривой набора

Примечания: параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью»

Метод наименьших квадратовЭто один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных

Основной принцип метода наименьших квадратовПри замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным

ПриближениеМНКТак же с помощью МНК из экспериментальных данных сделать приблизительный расчет

Отклонение точки от прямой

Как учесть отклонение всех точек?В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина: Суммарное

Метод наименьших квадратовПусть нам известно оптимальное значение a. Тогда S зависит

Суть метода наименьших квадратовРассмотрим применение МНК в случае применения линейного полинома:φ(х)

Суть метода наименьших квадратовИз уравнения (1) следует, что(2)Чем меньше числа δi

Суть метода наименьших квадратовУсловия минимума SS будут: (5)(6)Уравнения (6) и (7)

ПримерПример.В результате эксперимента получены значения x и y, сведенные в таблицу

Похожие презентации

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Таблично заданная функция
Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от

Аппроксимация таблично заданных функций (приближение функций, заданных таблично)
Таблица - дискретное множество

Аппроксимация
Uпр = 23,85δ ⋅ S + 7,85δ ⋅ S
(рис.1)

Критерии аппроксимации
Метод наименьших квадратов. Мерой близости аппроксимирующей функции f(x) к табличной

Сглаживание функций - сглаживающий сплайн.
Сглаживающий сплайн - это метод сглаживания аппроксимации кривой набора

Примечания:
параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью»

Метод наименьших квадратов
Это один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных

Основной принцип метода наименьших квадратов
При замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным

Приближение
МНК
Так же с помощью МНК из экспериментальных данных сделать приблизительный расчет

Как учесть отклонение всех точек?
В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина:
Суммарное

Метод наименьших квадратов
Пусть нам известно оптимальное значение a. Тогда S зависит

Суть метода наименьших квадратов
Рассмотрим применение МНК в случае применения линейного полинома:
φ(х)

Суть метода наименьших квадратов
Из уравнения (1) следует, что
(2)
Чем меньше числа δi

Суть метода наименьших квадратов
Условия минимума SS будут:
(5)
(6)
Уравнения (6) и (7)

Пример
Пример.
В результате эксперимента получены значения x и y, сведенные в таблицу