Векторные и спектральные модели сигналов в инфотелекоммуникации

модели сигналов в инфотелекоммуникации
Учебные вопросы:
Векторные модели сигналов. Обобщенный ряд Фурье.
Спектры периодических сигналов.
Спектры непериодических сигналов.
Теоремы о спектрах.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

и построить энергетические спектры для импульсных сигналов из таблицы 2.1 на стр 45.
Четные номера : треугольный (2) и косинусоидальный (3).
Нечетные номера : Прямоугольный (1) и SINC-образный (5).
Используя MathCAD рассчитать и построить энергетические спектры для импульсных сигналов вида:
Четные номера : пилообразный возрастающий.
Нечетные номера : пилообразный ниспдающий.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

пособие для студентов высших учебных заведений
/Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. –М.:Издательский центр «Академия», 2010.
-28-37;37-40;40-52 с.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

= Uв(t)cos(ωt + φ)

Uв(t) — огибающая радиоимпульса

ω — опорная (несущая) частота

φ — фаза

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

{UN(t)},

Многомерный (векторный) - сигнал образованный упорядоченным множеством одномерных сигналов V(t) = {U1(t),U2(t),…,UN(t)},
N — размерность сигнала.

Вопрос №1. Векторное представление сигнала. Понятие базиса, нормы, скалярного произведения сигналов, ортогональности сигналов, ортонормированного базиса сигналов.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Множество сигналов М={s1(t), s2(t),…sn(t)} обладающих определенными свойствами называется пространством сигналов. Структура пространства сигналов определяется алгебраическими и геометрическими свойствами.
Множество сигналов образует Вещественное Линейное Пространство Сигналов L
если справедливы следующие аксиомы:
1.Все сигналы при любом времени t принимают только вещественные значения.
2.Сумма любого числа сигналов данного множества также принадлежит этому множеству, при чем эта сумма подчиняется свойствам: для x =Si(t) y = Sj(t)
x + y = y + x — коммутативность;
x + (y + z) = (x + y )+ z — ассоциативность;
x + ∅ = x , где ∅ — нулевой элемент;
x + (- x) = 0 , где -x — противоположный элемент.
3. Умножение сигнала на скаляр (число) α определяет новый сигнал принадлежащий исходному множеству αsi(t) ∈М.
4. Операция умножения на скаляр подчиняется свойствам:
α(bx)= (αb)x
1x= x
(α+b)x)= αx+bx
α(x+y)= αx+αy

Пространство сигналов

Алгебраическая структура пространства сигналов

Линейное Пространство Сигналов С.
Элементы структурированного пространства в математике называются точками, функциями, векторами.

Общая теория связи Лекция #2

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Норма сигнала .
Эквивалентом длины вектора для аналоговых и дискретных сигналов является норма
Для вещественного сигнала норма определяется :
Для комплексного сигнала норма определяется :
Норма подчиняется следующим аксиомам:

Геометрическая структура пространства сигналов

Если S — это вектор, то норма – это его длина или расстояние от конца вектора до начала координат.

Энергия сигнала

Пусть s(t) ― напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, тогда s2(t) ― мгновенная мощность, а квадрат нормы ― есть энергия, выделяемая на резисторе за время T.

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Метрика пространства сигналов
Для усовершенствовании структуры пространства вводится расстояние между его элементами, которое называют также метрикой.
Каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется функционал d(x,y) = R, называемый метрикой и обладающий следующими свойствами:
d(x,y) ≥ 0 и d(x,y) = 0, только если x = y;
d(x,y) = d(y,x) – cвойство симметрии;
d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) – неравенство треугольника.

Геометрическая структура пространства сигналов

В качестве метрики можно выбрать величину

.

Линейное метрическое пространство с квадратичной нормой обозначается:
Вещественное L2 комплексное С2

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Геометрическая структура пространства сигналов

Скалярное произведение сигналов

Найдем энергию суммы двух сигналов u(t) и v(t).
Если сигналы рассматривать как вектора U и V получим
Где скалярное произведение двух векторов
угол между векторами
Сопоставляя сигналы с векторами в пространстве L2 получим что скалярное произведение двух сигналов

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

то скалярное произведение двух сигналов равно нулю , значит взаимная энергия этих сигналов равна нулю , а такие сигналы - ортогональные.

Свойства скалярного произведения сигналов

Для комплексных сигналов скалярное произведение должно удовлетворять следующим условиям:
(x, y) = (y, x)* , где знак * означает комплексно сопряженную величину;
(αx, y) = α(x, y);
(x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
(x, x) ≥ 0.
Если

Ортогональность двух сигналов

пассивной паузой

S1(t) = Uc sin (ω0t + ϕ), t∈[0,T], S1(t) = 0

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

=Uc cos (ω2t + ϕ2).

Пусть ω1= 2πk1/T, ω2= 2πk2/T, где k1 и k2 — целые числа,
ϕ1 и ϕ2 принимают любые значения. Тогда:

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

В линейном пространстве сигналов можно определить совокупность линейно независимых сигналов {ei(t)} таких, что весовая сумма ∑αiei=0 возможна только при одновременном равенстве нулю всех коэффициентов α. Эти сигналы называются координатным базисом. Базисные сигналы попарно ортогональные.
Если выбраны сигналы координатного базиса, то любой сигнал s(t) в линейном пространстве может быть представлен взвешенной суммой ортогональных сигналов координатного базиса ∑Сiei(t)=s(t)
Такое представление сигнала называется обобщенный ряд Фурье.
Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
Весовые коэффициенты этого ряда рассчитываются как скалярное
произведение сигнала s(t) и соответствующего i- того базисного сигнала ei(t):

Обобщенный ряд Фурье

Базисные сигналы

Совокупность коэффициентов обобщенного ряда Фурье {Сi} называется спектром сигнала s(t) в базисе ортогональных сигналов {ei(t)}

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Выводы по первому вопросу

1.Сигналы в радиотехнике рассматриваются как проявления электромагнитного поля в элементах радиотехнических цепей в виде колебаний напряжения или тока.
2.Обобщенной математической моделью сигналов является их описание как элементов функционального пространства (векторов ).
3.Вещественные и комплексные сигналы можно рассматривать как элементы множества векторного линейного нормированного метрического пространства.
4.Скалярное произведение двух сигналов по физическому смыслу представляет собой взаимную энергию между двумя сигналами , действующими суммарно на сопротивление в один Ом.
5.Скалярное произведение двух сигналов определяется углом между ними. Если угол между двумя сигналами равен 90 градусов то скалярное произведение равно нулю, и такие сигналы являются ортогональными.
6. Набор ортогональных сигналов называется координатным базисом пространства сигналов.
7. При известном базисе , любой сигнал можно представить взвешенной суммой сигналов ортогонального базиса в виде обобщенного ряда Фурье. Весовые коэффициенты этого ряда называются спектром сигнала.

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Вопрос 2. Спектры периодических сигналов.

Периодическим называют сигнал, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени – Т
Модель такого сигнала имеет вид
где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа таких сигналов –ряд Фурье в базисе гармонических сигналов с кратными частотами.

Формы спектрального представления периодического сигнала

Квадратурная

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Амплитудно – фазовая форма ряда Фурье

М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Комплексная форма ряда Фурье

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Комплексная форма ряда Фурье

АЧС –четная функция частоты (обладает симметрией в области положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечетная функция (обладает центральной симметрией)

мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):

Мощность и энергия периодического сигнала.

Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:

Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.

i(t)

u(t)

s(t)

R=1

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

собой совокупность гармонических сигналов с частотами, кратными частоте повторения сигнала. Амплитуды гармоник спектра зависят от временной формы, а начальные фазы от временной задержки.
Средняя мощность гармонического колебания за период его повторения пропорциональна квадрату действующего значения и не зависит от начальной фазы. Квадрат действующего значения гармонического сигнала равен половине квадрата амплитуды сигнала.

Равенство Парсеваля.

Средняя за период повторения Энергия периодического сигнала определяется как интеграл от мгновенной мощности усредненный за период повторения.

Энергия сигнала, представленного во временной области должна равняться сумме энергий всех его спектральных составляющих, т.е. сумме энергий постоянной составляющей и энергии всех гармоник спектра.
Данное соотношение называется равенством Парсеваля для вещественных сигналов.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электрических цепей и связи »

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

Равенство Парсеваля

М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Вопрос 3. Спектры непериодических сигналов. Теоремы о спектрах.

В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат рядов Фурье не применим.

Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала , когда период стремится к бесконечности

Устремим в периодическом сигнале T → ∞ или f1 = 1/T = ω1/2π → 0

где Δω = ω1 = [kω1 – (k – 1)ω1] — разность между частотами соседних гармоник

случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат рядов Фурье не применим.

Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала , когда период стремится к бесконечности

Устремим в периодическом сигнале T → ∞ или f1 = 1/T = ω1/2π → 0

где Δω = ω1 = [kω1 – (k – 1)ω1] — разность между частотами соседних гармоник

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Прямое и обратное преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих.

Прямое преобразование Фурье – операция анализа сигнала на основе определения его спектральных составляющих.

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Физический смысл спектральной плотности сигнала

Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом

Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.

М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

гласит: спектр суммы колебаний равен сумме спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания) формулируется следующим образом: при сдвиге колебания во времени (изменении начального момента отсчёта времени) спектральная плотность амплитуд сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на величину, пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на

приводит к смещению его спектра на величину ω0.
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во времени (a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1) приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: свёртка двух колебаний S1(t) и S2(t) соответствует перемножению их спектров.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #2

Вопрос 4. Свойства преобразования Фурье

модели непериодических сигналов.
Учебные вопросы:
Энергетические модели Т-финитных сигналов.
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Эффективная ширина спектра сигнала.
Корреляционные модели детерминированных сигналов
Свертка двух сигналов во временной и частотной области

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

построить АКФ
Четные номера : Прямоугольный (1) и SINC-образный (5)
Нечетные номера : треугольный (2) и косинусоидальный (3).
Используя MathCAD рассчитать и построить энергетические спектры для импульсных сигналов с использованием обратного преобразования Фурье от АКФ сигнала
Четные номера : пилообразный возрастающий.
Нечетные номера : пилообразный ниспадающий.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и связи»

мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):

Вопрос 1. Энергетические модели Т-финитных сигналов.

Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:

Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.

i(t)

u(t)

s(t)

R=1

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

котором f(t)=g(t)=s(t).

Равенства Парсеваля и обобщенная формула Рэлея.

Энергетический спектр сигнала

Распределение энергии в спектре вещественного непериодического сигнала

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

в пределах которой находится основная часть энергии спектральных гармоник (например >90%)

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

двух сигналов.

Корреляционная функция.

Корреляционная функция – зависимость корреляции двух в общем случае комплексных сигналов от временного сдвига τ между ними.

Для сигналов с ограниченной энергией.

Для сигналов с конечной средней мощностью.

Для периодических сигналов .

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

его копии, задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки τ.

Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ).

Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).

АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ : R(τ )=R(- τ ) . График АКФ симметричен .
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ )

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

Фурье.

Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).

Однозначно восстановить сигнал s(t ) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как энергетический спектр G(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом спектре сигнала.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

период повторения (ВАТТЫ), четная по аргументу τ , максимумы повторяются через период повторения T.

Примеры:
Пример1.

АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).

АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье:

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:
Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки суммируются.

Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.

Свертка двух сигналов во временной и частотной области

Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

следующим алгоритмом:
Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки суммируются.

Свертка двух сигналов во временной и частотной области

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

«Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.

Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи»

Общая теория связи Лекция #3

квадратурное дополнение аналитического сигнала.

связаны преобразованием Гильберта.
Вещественный сигнал и его квадратурное дополнение связаны преобразованием Гильберта
Преобразование Гильберта есть свертка сигнала и ядра 1/πt

каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта.