Численные методы

– 320 с.
Тарасевич. Основы численных методов на MathCAD
www.exponenta.ru
Мудров А.Е. Числ. методы для ПЭВМ на языках Бэйсик, Фортран и Паскаль. – Томск:МП «Раско», 1991.

которых аналитическое (точное) решение затруднено или невозможно

Примеры:
«неберущиеся» интегралы (нет первообразных функций);

Математические задачи, требующие больших затрат времени
и другие

наук.

Конечный результат: Формулы, системы уравнений.

Преимущества:
Вычисления по конечным формулам,
Можно строить графики
Решить доп. теоретические задачи

Недостатки:
Приближения при выводе формул
Отсутствие методов решения систем уравнений некоторого вида
Трудности проведения вычислений по формулам

точки на графиках.

Преимущества:
Наглядное представление о поведении исследуемой величины
Позволяет оценить приближенное значение некоторой величины
Можно составить таблицу значений

Недостатки:
Трудности проведения дополнительных теоретических исследований

числа.

Преимущества:
Решение задач, для которых нет аналитических методов

Недостатки:
Вычисления содержат погрешности
Не для всех задач есть численные методы
Вычисления могут занимать много времени

действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений

степенью точности

2. В компьютере числа хранятся в ячейках памяти с фиксированной разрядностью не более 15 цифр. Ограничен диапазон представления чисел: 10-307 < |x| < 10307

3. Компьютерные вычисления могут содержать миллионы операций, что приводит к накоплению ошибки.

4. Компьютерная арифметика связана с представлением чисел в ЭВМ и отличается от обычной

должна адекватно описывать законы физического явления).
Разработка численного метода (нахождение метода, позволяющего свести задачу к вычислительному алгоритму).

Все численные методы являются ПРИБЛИЖЕННЫМИ, т.е. решение всегда находится с некоторой погрешностью ε

X входит под знак функции.

Опр. Уравнение называется трансцендентным, если переменная X входит под знак какой-либо математической функции: корень, экспонента, тригонометрическая функция и др.

Опр. Если в уравнении переменная X входит только в виде Xn (n≠1), то такое уравнение называется алгебраическим.

котором содержится корень уравнения.

2. Уточнение значения корня X0 до заданной точности ε.

а) Графически (строится приближенный график функции y=f(x))
б) Аналитически (строится таблица значений функции f(x)=0)

уравнения x0. На данном интервале выполняются ограничения применимости метода:

f(a) · f(b) ≤ 0

2. Существует f’(x) и не меняет знак на [a,b]

3. Функция f(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b]

4. Задана точность нахождения корня X0: ε=10-3

отрезка [a,b], точку c=(a+b)/2.

2. Найти значение функции f(x) в точке с.

3. Проверить, выполняется ли условие
f(с) · f(b) ≤ 0 (1).

4. В случае выполнения условия (1), сузить интервал поиска до [c,b]. Если условие (1) не выполняется – сузить интервал поиска до [a,c].

достигнута ли заданная точность ε: | b – a| < ε

7. Если точность достигнута, то вывести на печать значение корня X0 = (a+b)/2. Если точность не достигнута, то перейти к п 1. (к следующей итерации).

корень находится на интервале x ∈ [1,2].

0
поэтому b:=c
|b-a|=0.5 > ε

2 итерация
c:=(a+b)/2 c=1.25 f(b)*f(c) = -0.16 < 0
поэтому a:=c
|b-a|=0.25 > ε
и т.д.

итераций (метод последовательных приближений).

B.

Проводим хорду AB, которая делит отрезок [a,b] в соотношении:
-f(a) : f(b). Опускаем перпендикуляр из т. x1 на функцию f(x). Повторяем до тех пор, пока не выполняется условие
| xn+1 – xn| < ε .

знаком ее второй производной f ”(x), т.е. f(b)*f ”(b) >0.
Последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x0, где функция имеет знак, противоположный знаку ее второй производной.

равна:

?

Случай используется, если первая и вторая производные функции f(x) имеют одинаковые знаки, т.е.
f ‘(x)*f “(x) > 0

получаем:

(*)

: -f(a). Опускаем перпендикуляр из т. x1 на функцию f(x). Повторяем до тех пор, пока не выполняется условие
| xn+1 – xn| < ε .

равна:

?

Случай используется, если первая и вторая производные функции f(x) имеют разные знаки, т.е.
f ‘(x)*f “(x) < 0

получаем:

(**)

заменяется стягивающей её хордой.
В качестве приближенного значения корня x0 принимается точка пересечения хорды с осью Ox.

коэффициентов при неизвестных;
Bj – вектор-столбец свободных членов;
Xj – вектор-столбец неизвестных.

Решение: Любая совокупность чисел α1, α2, …, αn, приводящая систему в тождество