Декартово произведение

Повторение материала

Универсальным называется множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным

Множество, элементами которого являются подмножества множества М, называется семейством множества

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство,

Примеры задания множества

Множество всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 можно

1.2. Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух множеств Х и

Пересечением множеств Х и Y называется множество, состоящее из элементов, входящих

Дополнением множества до универсального множества U (рис. 1.5) является множество

Симметрической разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее либо

Вместо выражения
«любое х из множества Х»
можно писать , где перевёрнутая

Множество A можно разбить на классы (непересекающиеся подмножества) Ai, если:
объединение всех

Для операций над множествами справедливы следующие тождества:
законы коммутативности объединения и пересечения
законы

законы дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения
законы

законы идемпотентности объединения и пересечения
законы действия с универсальным (U) и пустым

План

Декартово произведение множеств.
Отношения. Бинарные отношения и их свойства.
Соответствие между множествами.

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их

Рассмотрим другой пример.
Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первые

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример.
Известно, что АXВ={(2, 3), (2, 5), (2,

Количество пар в декартовом произведении АXВ будет равно произведению числа элементов

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы

Декартовым произведением множеств А1, А2, …, Аn называют множество кортежей длины

2. Понятие соответствия

АхВ:
Соответствие — это множество всех пар, в котором

Проекция:

AxBxCx...xM
Если число сомножеств равно n, то это множество векторов длины n,

Соответствие

Соответствием называется некое подмножество прямого произведения АхВ

Пары задают соответствие между множествами A и B, если указано правило

Образ множества A при соответствии R называется множеством значений этого соответствия

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображения.
Для задания отображения

При записи подразумевается, что отображение f определено всюду на A, т.е.

Классификация отображений по мощности

На множество
«сюръекция»;
На множество
«биекция»;
Во множество
«инъекция».

На множество - «сюръекция»
Соответствие. при котором каждому элементу множества А указан

На множество - «биекция»
Отображение множества А на множество В, при котором

Во множество - «инъекция»
Соответствие. при котором каждому элементу множества А указан единственный

Пусть множество А отображается взаимно-однозначно на множество В, т.е. . Тогда

Кортежем длины n из элементов множества А называется упорядоченная последовательность

В отличие от элементов множества элементы кортежа могут совпадать.
Например, в прямоугольной

Существуют кортежи, элементы которых являются только нулями или единицами.
Кортеж из

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество , состоящее из всех

Отношения. Бинарные отношения и их свойства

Подмножество называется n-местным отношением R на

симметричность:
антисимметричность:
асимметричность:

транзитивность:
антитранзитивность:
связность:

или

Каждое конкретное отношение может обладать или не обладать указанным свойством.
Примеры рефлексивных

Примеры антисимметричных отношений:
«быть меньше или равным»; «быть делителем»;
«быть подмножеством»;
Примеры асимметричных отношений;
«быть

Примеры отношений связности:
«быть больше», «быть меньше» на множестве N, R; «быть

Непересекающиеся подмножества, на которые разбивается множество М отношением эквивалентности, называются классами

Отношение порядка

антисимметричность

транзитивность

+ рефлексивность

+ антирефлексивность

Отношение