Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах

x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель:

а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

определитель Якоби (якобиан)

Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y).

2/13

линиями:
xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x.

D

Сделаем замену переменных:

3/13

производные от получившихся функций:

Замена переменных в двойном интеграле

5/13

в двойном интеграле

7/13

координат x и y полярными координатами r и φ.

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами:

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.

Якобиан преобразования равен:

8/13

полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат

Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат:

Лучами

D*

Кривыми

Такая область называется правильной областью в полярной системе координат:

луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках.

9/13

интеграл в полярных координатах

D*

10/13

; область D есть круг, кольцо или части таковых.

На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены

Двойной интеграл в полярных координатах

Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам.

Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ.

3

11/13

в декартовой системе координат.

3

D

12/13